Dans cette leçon 8 parties
Le prix d’une obligation
Une obligation verse des coupons, puis rembourse son nominal à l’échéance. Son prix est la valeur actuelle de ces flux, au taux de rendement du marché.
Exemple fil rouge : une obligation de nominal 100, de coupon annuel 4 % et d’échéance 3 ans. Au taux de marché de 5 % :
P = 4 / 1,05 + 4 / 1,05² + 104 / 1,05³ = 3,81 + 3,63 + 89,84 ≈ 97,28Le coupon, 4 %, est inférieur au taux du marché, 5 % : l’obligation cote sous le pair. Si les taux montent à 6 %, son prix tombe à 94,65 ; s’ils baissent à 4 %, il remonte à 100.
La duration de Macaulay
La duration de Macaulay est la durée moyenne pendant laquelle on attend ses flux, chaque date étant pondérée par la part de son flux dans le prix.
D = Σ t × VA(fluxt) / P
| Date t | Flux | Valeur actuelle | Poids | t × poids |
|---|---|---|---|---|
| 1 | 4 | 3,8095 | 3,92 % | 0,0392 |
| 2 | 4 | 3,6281 | 3,73 % | 0,0746 |
| 3 | 104 | 89,8391 | 92,35 % | 2,7706 |
| Total | 97,2768 | 100 % | 2,8844 |
La duration vaut 2,88 ans : un peu moins que l’échéance, car les coupons arrivent avant. On peut la voir comme le centre de gravité des flux sur l’axe du temps.
- Une obligation zéro-coupon a une duration égale à son échéance : un seul flux, à la fin.
- Plus le coupon est élevé, plus la duration est courte : à 3 ans, elle vaut 3 sans coupon, 2,88 avec un coupon de 4 % et 2,79 avec 8 %.
- Plus l’échéance est lointaine, plus la duration est longue : 8,36 ans pour une obligation à 10 ans de coupon 4 %.
La duration modifiée : la sensibilité aux taux
La duration modifiée mesure de combien de pour cent le prix varie quand le taux bouge d’un point :
Dmod = D / (1 + y) et ΔP / P ≈ −Dmod × Δy
Dmod = 2,8844 / 1,05 ≈ 2,747Si le taux passe de 5 % à 6 %, le prix devrait baisser d’environ 2,75 %. Le recalcul exact donne 94,65, soit −2,70 % : l’approximation est bonne, mais un peu pessimiste.
Sur les marchés, on parle aussi de sensibilité, ou de DV01 : la variation de prix pour un point de base, soit 0,01 %. Ici : 97,28 × 2,747 × 0,0001 ≈ 0,027 pour un nominal de 100.
La convexité corrige l’approximation
La relation entre prix et taux n’est pas une droite mais une courbe convexe. La duration en donne la tangente ; la convexité en mesure la courbure.
ΔP / P ≈ −Dmod × Δy + ½ × C × (Δy)²
Ici, C ≈ 10,33. Avec la correction :
Taux à 6 % : −2,747 % + ½ × 10,33 × 0,01² ≈ −2,695 % (exact : −2,696 %) Taux à 4 % : +2,747 % + ½ × 10,33 × 0,01² ≈ +2,799 % (exact : +2,799 %)Pour une obligation classique, la convexité est positive : à mouvement de taux égal, le prix monte plus qu’il ne baisse. C’est une qualité que les gérants paient.
En assurance : adosser l’actif au passif
Un assureur vie doit payer des prestations futures : son passif a lui aussi une duration. Si ses actifs ont une duration différente, une variation des taux fait bouger actif et passif de montants différents. La gestion actif-passif, ou ALM, cherche à les faire bouger ensemble.
Exemple : l’assureur doit 1 000 € dans 2 ans. Au taux de 5 %, ce passif vaut 907,03 € et sa duration est de 2 ans. L’assureur ne trouve que des zéro-coupons à 1 an et à 3 ans. En plaçant la même valeur actuelle sur chacun, 453,51 €, il achète :
476,19 € remboursés dans 1 an et 525,00 € remboursés dans 3 ansSon actif vaut 907,03 € et sa duration vaut (1 + 3) / 2 = 2 ans, comme le passif. Si les taux passent à 6 %, l’actif vaut 890,04 € et le passif 890,00 € ; à 4 %, 924,60 € contre 924,56 €. Dans les deux cas, l’actif couvre le passif.
C’est l’immunisation de Redington : même valeur actuelle, même duration, et une convexité de l’actif supérieure à celle du passif. Elle protège contre de petits déplacements parallèles de la courbe des taux, pas contre une déformation de la courbe, et demande de rééquilibrer le portefeuille quand les taux bougent.
Quiz rapide
Quelle est la duration d’une obligation zéro-coupon à 7 ans ?
7 ans : elle n’a qu’un flux, à l’échéance.
Une obligation a une duration modifiée de 6. Les taux baissent de 0,5 point. Que devient son prix ?
Il monte d’environ 6 × 0,5 % = 3 %, et même un peu plus grâce à la convexité.
Pourquoi un assureur vie cherche-t-il des obligations longues ?
Ses engagements, des rentes ou des capitaux versés dans des dizaines d’années, ont une duration longue. Avec des actifs trop courts, une baisse des taux ferait monter son passif plus vite que son actif.
Ce qu’il faut retenir
- La duration de Macaulay est la date moyenne des flux, pondérée par leur valeur actuelle.
- La duration modifiée donne la variation du prix, en pour cent, pour un point de taux.
- La convexité corrige l’approximation quand les taux bougent beaucoup.
- En assurance, on rapproche la duration de l’actif de celle du passif : c’est l’adossement.
Pour aller plus loin
À vous de jouer : la duration d’une obligation à 2 ans, une obligation qui cote sous le pair et approcher une variation de prix.
Au format de l’Exam FM, en anglais : le prix d’une obligation.
Des lectures sur la gestion actif-passif d’un fonds en euros : la bibliothèque.
Envie d’aller plus loin ?
Le cours Mathématiques financières reprend prix, rendement, duration et convexité, avec des exercices corrigés à chaque étape.