Actualisation et annuités

Définition

Actualiser, c’est multiplier un flux futur par le facteur d’actualisation v^t = (1 + i)^−t, où i est le taux effectif annuel et t la durée en années. La valeur actuelle d’une suite de flux est la somme de ses flux actualisés : c’est une somme géométrique de raison v.

Formules à connaître

Rente temporaire à terme échu : a_n = v + v² + … + vⁿ = (1 − vⁿ) / i

Rente payable d’avance : ä_n = 1 + v + … + vⁿ⁻¹ = (1 − vⁿ) / d = (1 + i) a_n

Perpétuité : 1 / i (échue), 1 / d (d’avance), avec d = i / (1 + i) le taux d’escompte

Valeur acquise : s_n = ((1 + i)ⁿ − 1) / i = (1 + i)ⁿ a_n

Rente croissante géométriquement (premier flux 1 dans un an, croissance g, perpétuelle) : 1 / (i − g) si g < i

Hypothèses

Les formules fermées supposent un taux constant, non nul (si i = 0, a_n vaut simplement n) et des flux équidistants ; sinon on actualise flux par flux. Les perpétuités 1 / i et 1 / (i − g) n’ont de sens que si i > 0 et g < i. « Fin de période » et « début de période » changent le résultat d’un facteur (1 + i) : lisez l’énoncé.

Résultats utiles

Prix d’une obligation de nominal N, coupon c, n années, au taux y : P = cN a_n + N vⁿ ; elle cote au pair quand c = y. Mensualité d’un prêt L sur n mois au taux mensuel i_m : L / a_n au taux i_m. Capital restant dû après k paiements : la valeur actuelle des n − k mensualités restantes.

Exemple corrigé

Valeur actuelle de 500 € reçus chaque fin d’année pendant 4 ans, au taux de 3 % ?

a₄ = (1 − 1,03⁻⁴) / 0,03 = (1 − 0,88849) / 0,03 = 3,7171, VA = 500 × 3,7171 = 1 858,55 €

Si les 500 € sont reçus en début d’année : 1 858,55 × 1,03 = 1 914,31 €.

Erreurs fréquentes

• Confondre a_n (fin de période) et ä_n (début de période).
• Utiliser le taux annuel avec des périodes mensuelles : il faut le taux de la période.
• Actualiser au lieu de capitaliser (ou l’inverse) : la valeur actuelle est plus petite que la somme des flux, la valeur acquise plus grande.
• Oublier le remboursement du nominal dans le prix d’une obligation.