Développements limités et approximations

Définition

Un développement limité d’ordre n en a est un polynôme de degré au plus n qui approche f près de a, avec une erreur négligeable devant hⁿ : f(a + h) = f(a) + f′(a) h + … + f⁽ⁿ⁾(a) hⁿ/n! + o(hⁿ). C’est la formule de Taylor-Young ; la version avec reste (Taylor-Lagrange) borne l’erreur par max|f⁽ⁿ⁺¹⁾| hⁿ⁺¹/(n+1)!.

Formules à connaître

e^x = 1 + x + x²/2 + x³/6 + …

ln(1 + x) = x − x²/2 + x³/3 − … (|x| < 1)

(1 + x)^α = 1 + αx + α(α − 1) x²/2 + …

1 / (1 + x) = 1 − x + x² − …, √(1 + x) = 1 + x/2 − x²/8 + …

Hypothèses

La fonction doit être suffisamment dérivable, et h doit être petit : un développement limité est local. Pour une variation de taux de 0,4 point, le premier ordre suffit souvent ; pour 2 points, le second ordre compte.

Résultats utiles

Équivalents en 0 : e^x − 1 ~ x, ln(1 + x) ~ x, sin x ~ x, 1 − cos x ~ x²/2. Pour le prix P(y) d’une obligation, la dérivée première donne la duration modifiée D_mod = −P′(y)/P et la seconde la convexité C = P″(y)/P :

ΔP / P ≈ −D_mod Δy + ½ C (Δy)²

Le terme de convexité est toujours positif pour une obligation classique : la duration seule surestime la baisse et sous-estime la hausse du prix.

Exemple corrigé

Une obligation a une duration modifiée de 7 et une convexité de 60. Les taux montent de 1 point.

Premier ordre : −7 × 0,01 = −7,00 %

Second ordre : −7 × 0,01 + ½ × 60 × 0,01² = −7,00 % + 0,30 % = −6,70 %

Erreurs fréquentes

• Écrire Δy en points (1) au lieu de 0,01 : les formules veulent une variation en nombre décimal.
• Oublier le ½ devant la convexité, ou le signe moins devant la duration.
• Utiliser la duration de Macaulay là où il faut la duration modifiée : D_mod = D / (1 + y), y étant le taux effectif annuel.
• Appliquer un développement limité loin du point : e^x ≈ 1 + x est faux pour x = 1 (2,72 contre 2).