Rappel express
E est linéaire : E[aX + bY] = aE[X] + bE[Y], toujours. La variance ne l’est pas :
Var(X) = E[X²] − E[X]², Var(aX + b) = a² Var(X)
Var(X + Y) = Var(X) + Var(Y) + 2 Cov(X, Y), Cov(X, Y) = ρ σX σY
Si X et Y sont indépendantes, Cov(X, Y) = 0 et les variances s’ajoutent. Les écarts-types, eux, ne s’ajoutent que dans le cas limite d’une corrélation égale à 1.
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Définitions
L’espérance E[X] est la moyenne pondérée par les probabilités : Σ xk pk pour une variable discrète, ∫ x f(x) dx pour une variable à densité. La variance Var(X) = E[(X − E[X])²] mesure la dispersion autour de la moyenne ; l’écart-type σ = √Var(X) est dans l’unité de X. La covariance Cov(X, Y) = E[(X − E[X])(Y − E[Y])] mesure la tendance de X et Y à varier ensemble, et ρ = Cov(X, Y) / (σX σY) est la corrélation, comprise entre −1 et 1.
Formules à connaître
E[aX + bY + c] = aE[X] + bE[Y] + c
Var(X) = E[X²] − E[X]² (formule de König-Huygens)
Var(aX + bY) = a² Var(X) + b² Var(Y) + 2ab Cov(X, Y)
Var(X1 + … + Xn) = n σ² si les Xi sont indépendantes de même variance σ²
Hypothèses
La linéarité de l’espérance ne demande rien, pas même l’indépendance. L’additivité des variances demande des variables non corrélées (l’indépendance suffit). Pour un produit, E[XY] = E[X] E[Y] n’est vrai que si X et Y sont non corrélées.
Résultats utiles
Lois usuelles : Bernoulli(p) a pour variance p(1 − p) ; binomiale(n, p) : moyenne np, variance np(1 − p) ; Poisson(λ) : moyenne et variance λ ; exponentielle de moyenne θ : variance θ² ; uniforme sur [a, b] : moyenne (a + b)/2, variance (b − a)²/12. Pour une somme aléatoire S = X1 + … + XN de N termes indépendants, de même loi et indépendants de N : E[S] = E[N] E[X] et Var(S) = E[N] Var(X) + Var(N) E[X]².
Exemple corrigé
Deux lignes d’activité ont des pertes d’écarts-types 12 et 16, corrélées à 0,5. Écart-type de la perte totale ?
Var = 12² + 16² + 2 × 0,5 × 12 × 16 = 144 + 256 + 192 = 592, σ = 24,3
Sans corrélation, on aurait √400 = 20 ; avec une corrélation de 1, 12 + 16 = 28. La diversification joue entre ces deux bornes.
Erreurs fréquentes
- Additionner des écarts-types : on additionne des variances, puis on prend la racine.
- Oublier le facteur 2 devant la covariance, ou le a² devant la variance.
- Confondre Var(2X) = 4 Var(X) et Var(X1 + X2) = 2 Var(X) pour deux copies indépendantes.
- Appliquer E[XY] = E[X] E[Y] à des variables corrélées.
Exercices qui mobilisent cette notion
- Style Exam P : la variance d’une somme (Exam P, facile)
- La variance d’une combinaison de browniens (Calcul stochastique, intermédiaire)
- Le bénéfice de diversification (Risque, intermédiaire)
Dans le lexique
Un trou de mémoire sur une autre notion ?
Les fiches sont communes à tous les cours : une définition, les formules, les hypothèses, un exemple corrigé et les erreurs fréquentes.