Exponentielle, logarithme et taux continus

Définition

L’exponentielle est la fonction égale à sa dérivée avec e⁰ = 1 ; elle est strictement croissante et toujours positive. Le logarithme népérien ln est sa réciproque : ln(e^x) = x et e^{ln y} = y pour y > 0.

Formules à connaître

e^a e^b = e^a+b, e^−a = 1 / e^a, (e^a)^t = e^at

ln(ab) = ln a + ln b, ln(a / b) = ln a − ln b, ln(a^t) = t ln a

a^t = e^{t ln a} (c’est ainsi qu’on calcule 1,04^2,5 ou 1,05^1/12)

Taux équivalents

Deux taux sont équivalents s’ils donnent la même valeur acquise sur la même durée. Avec i le taux effectif annuel, δ le taux continu (force d’intérêt) et i_m le taux par période de 1/m année :

1 + i = e^δ = (1 + i_m)^m, donc i_m = (1 + i)^1/m − 1

Par le taux continu : i_m = e^δ/m − 1

Un taux nominal j convertible m fois par an signifie i_m = j / m par période ; j lui-même n’est pas un taux effectif annuel, celui-ci vaut (1 + j/m)^m − 1.

Hypothèses

ln n’est défini que sur ]0, +∞[ : toutes les règles ci-dessus supposent a > 0 et b > 0. L’approximation e^x ≈ 1 + x demande x petit : l’erreur est de l’ordre de x²/2, soit 0,000 05 pour x = 1 %, mais 0,5 pour x = 1.

Résultats utiles

Pour x petit, e^x = 1 + x + x²/2 + … et ln(1 + x) = x − x²/2 + … : au premier ordre, un taux continu et un taux effectif sont proches (δ = 4 % donne i = 4,08 %). La dérivée de e^at est a e^at, celle de ln t est 1/t.

Exemple corrigé

Un capital de 100 placé au taux continu de 3 % pendant 2 ans vaut 100 × e^0,06 = 106,18. Quel taux effectif annuel donne la même chose ?

(1 + i)² = e^0,06 ⇒ i = e^0,03 − 1 = 3,045 %

Erreurs fréquentes

• Capitaliser avec 1 + δ au lieu de e^δ quand le taux est continu (104 au lieu de 104,08 pour un an à 4 %).
• Diviser un taux annuel par 12 pour obtenir un taux mensuel équivalent : le bon calcul est (1 + i)^1/12 − 1.
• Écrire ln(a + b) = ln a + ln b : faux, c’est le produit qui se transforme en somme.
• Oublier que e^−x actualise : le prix à terme capitalise (e^rT), le prix d’exercice s’actualise (e^−rT).