Rappel express
Wt est normal de moyenne 0 et de variance t, à accroissements indépendants. La règle de calcul : (dWt)² = dt, dt × dWt = 0, (dt)² = 0. Pour dX = a dt + b dW :
df(t, X) = (∂tf + a ∂xf + ½ b² ∂xxf) dt + b ∂xf dW
Un processus sans terme en dt (une intégrale stochastique) est une martingale, sous une condition d’intégrabilité toujours vérifiée dans les exemples de cours : son espérance reste constante. Brownien géométrique dS = μS dt + σS dW : St = S0 exp((μ − σ²/2) t + σ Wt) et E[St] = S0 eμt.
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Définitions
Le mouvement brownien standard W est un processus continu, nul en 0, à accroissements indépendants et stationnaires : Wt − Ws suit N(0, t − s). Une martingale est un processus intégrable dont la meilleure prévision à partir du présent est la valeur présente : E[Mt | information en s] = Ms pour s ≤ t. Un processus d’Itô s’écrit dXt = a(t, Xt) dt + b(t, Xt) dWt : a est la dérive, b la diffusion.
Formules à connaître
Var(Wt) = t, Cov(Ws, Wt) = min(s, t), Var(Wt − Ws) = t − s
Lemme d’Itô : df = (∂tf + a ∂xf + ½ b² ∂xxf) dt + b ∂xf dW
Cas simple f(Wt) : df = f′(Wt) dWt + ½ f″(Wt) dt
E[eσ Wt] = eσ² t / 2 (moment d’une loi normale)
Hypothèses
Le lemme demande f deux fois continûment dérivable en x et une fois en t. La propriété de martingale de l’intégrale ∫ b dW demande que b soit raisonnable (de carré intégrable) : c’est le cas de tous les exemples de cours.
Résultats utiles
eσWt − σ²t/2 est une martingale (son espérance vaut 1 à tout instant). La solution du brownien géométrique dS = μS dt + σS dW est St = S0 exp((μ − σ²/2) t + σ Wt) : la médiane de St est S0 e(μ − σ²/2) t, plus petite que l’espérance S0 eμt. Sous la probabilité risque-neutre, la dérive de tout actif devient le taux sans risque r (théorème de Girsanov : W̃t = Wt + λt, avec λ = (μ − r) / σ), pour un actif sans dividende.
Exemple corrigé
Montrer que Wt³ − 3t Wt est une martingale et en déduire E[W3³].
f(x) = x³ : d(Wt³) = 3 Wt² dWt + 3 Wt dt, et d(3t Wt) = 3 Wt dt + 3t dWt
d(Wt³ − 3t Wt) = (3 Wt² − 3t) dWt
Pas de terme en dt : c’est une martingale, d’espérance constante égale à sa valeur en 0, soit 0. Donc E[W3³] = 3 × 3 × E[W3] = 0, ce que la symétrie de la loi normale confirme.
Erreurs fréquentes
- Oublier le terme ½ b² f″ dt : c’est tout ce qui distingue Itô du calcul ordinaire.
- Écrire Var(W5 − W2) = 5 au lieu de 3, ou traiter W2 et W5 comme indépendants.
- Confondre espérance et médiane d’un brownien géométrique : la correction −σ²/2 ne concerne que le logarithme.
- Prendre pour une martingale tout processus d’espérance nulle : Wt³ a une espérance nulle et n’en est pas une, à cause du terme 3 Wt dt.
Exercices qui mobilisent cette notion
- Une probabilité sur un brownien (Calcul stochastique, facile)
- L’espérance d’un brownien géométrique (Calcul stochastique, facile)
- La variance d’une combinaison de browniens (Calcul stochastique, intermédiaire)
- Reconnaître une martingale (Calcul stochastique, intermédiaire)
- La médiane d’un brownien géométrique (Calcul stochastique, intermédiaire)
- Un moment calculé avec Itô (Calcul stochastique, avancé)
Dans le lexique
Un trou de mémoire sur une autre notion ?
Les fiches sont communes à tous les cours : une définition, les formules, les hypothèses, un exemple corrigé et les erreurs fréquentes.