Loi normale, centrage et quantiles

Définition

X suit la loi normale de moyenne μ et de variance σ² si sa densité est (1 / (σ√(2π))) exp(−(x − μ)² / (2σ²)). Dans l’écriture usuelle « X ~ N(μ, σ²) », le second paramètre est la variance, pas l’écart-type. La courbe est symétrique autour de μ. Dans toute la suite, N(z) désigne la fonction de répartition de la loi centrée réduite.

Formules à connaître

Centrer et réduire : Z = (X − μ) / σ est centrée réduite (moyenne 0, variance 1)

P(X ≤ x) = N((x − μ) / σ), P(X > x) = 1 − N((x − μ) / σ), N(−z) = 1 − N(z)

Quantile : P(X ≤ μ + z_α σ) = α, avec z_95 % = 1,645, z_97,5 % = 1,960, z_99 % = 2,326, z_99,5 % = 2,576, z_99,9 % = 3,090

Densité réduite : φ(z) = e^−z²/2 / √(2π), φ(1,96) = 0,0584, φ(2,326) = 0,0267

Hypothèses

Le centrage suppose σ > 0. Les quantiles ci-dessus sont unilatéraux : 1,96 laisse 2,5 % dans chaque queue, donc 95 % au centre, mais 97,5 % « à gauche ». Pour une VaR à 95 %, le quantile est 1,645, pas 1,96.

Résultats utiles

Une combinaison linéaire de variables normales indépendantes est normale : aX + bY suit N(aμ_X + bμ_Y, a²σ_X² + b²σ_Y²). La somme de n variables normales indépendantes de même loi a pour écart-type σ√n, pas nσ. Les moments : E[Z²] = 1, E[Z⁴] = 3. Et si ln X suit une loi normale de moyenne m et d’écart-type s, X est lognormale : E[X] = exp(m + s²/2), médiane e^m.

Exemple corrigé

Une perte suit N(100, 20²). Probabilité qu’elle dépasse 130 ? Perte dépassée une fois sur cent ?

P(L > 130) = 1 − N((130 − 100) / 20) = 1 − N(1,5) = 1 − 0,9332 = 6,68 %

Quantile à 99 % : 100 + 2,326 × 20 = 146,5

Erreurs fréquentes

• Diviser par la variance au lieu de l’écart-type en centrant.
• Prendre 1,96 pour un quantile à 95 % unilatéral (c’est 1,645) ou 2,326 pour 99,5 % (c’est 2,576).
• Chercher N(−z) dans une table qui ne donne que z ≥ 0, ou écrire N(−z) = −N(z) : la bonne relation est N(−z) = 1 − N(z).
• Ajouter des écarts-types au lieu des variances pour une somme de variables indépendantes.