Probabilités conditionnelles et formule de Bayes

Définition

La probabilité de A sachant B est P(A | B) = P(A ∩ B) / P(B), définie si P(B) > 0. Elle redistribue la probabilité sur les seuls cas où B est réalisé. A et B sont indépendants si P(A | B) = P(A), c’est-à-dire P(A ∩ B) = P(A) P(B).

Formules à connaître

Multiplication : P(A ∩ B) = P(A | B) P(B) = P(B | A) P(A)

Probabilités totales : si A₁, …, A_n forment une partition, P(B) = Σ P(B | A_k) P(A_k)

Bayes : P(A_j | B) = P(B | A_j) P(A_j) / Σ_k P(B | A_k) P(A_k)

Inclusion-exclusion : P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B), P(ni A ni B) = 1 − P(A ∪ B)

Hypothèses

Les probabilités totales exigent une partition : des événements deux à deux incompatibles dont la réunion est certaine (par exemple « risque élevé » et « risque faible »). L’indépendance est une hypothèse, pas une évidence : deux garanties détenues par les mêmes clients sont rarement indépendantes.

Résultat utile

Le réflexe du tableau : avec 1 000 individus fictifs, répartissez-les selon la partition, puis selon B dans chaque groupe. La probabilité a posteriori se lit comme une proportion dans la colonne « B réalisé ». C’est la formule de Bayes sans formule.

Exemple corrigé

20 % des assurés sont à risque élevé et déclarent un sinistre avec probabilité 15 % ; les autres avec probabilité 4 %. Un assuré déclare un sinistre : probabilité qu’il soit à risque élevé ?

P(S) = 0,20 × 0,15 + 0,80 × 0,04 = 0,030 + 0,032 = 0,062

P(élevé | S) = 0,030 / 0,062 = 48,4 %

Sur 1 000 assurés : 30 sinistres chez les 200 à risque élevé, 32 chez les 800 autres ; 30 / 62 = 48,4 %. Un sinistre rend le risque élevé bien plus probable qu’avant (48 % contre 20 %), sans le rendre majoritaire.

Erreurs fréquentes

• Confondre P(A | B) et P(B | A) : la probabilité d’un sinistre sachant le risque n’est pas celle du risque sachant le sinistre.
• Oublier le dénominateur P(B) dans Bayes, ou n’y mettre qu’un seul terme.
• Additionner P(A) + P(B) sans retirer l’intersection, qui est comptée deux fois.
• Supposer l’indépendance pour calculer P(A ∩ B) alors que l’énoncé donne P(A ∩ B) directement.