Suites géométriques

Définition

Une suite (u_n) est géométrique de raison q si u_n+1 = q u_n pour tout n. Son terme général est u_n = u₀ qⁿ, ou u_n = u_p q^n−p à partir d’un rang p quelconque.

Formules à connaître

Somme de n termes : u₀ (1 − qⁿ) / (1 − q) = u₀ (qⁿ − 1) / (q − 1)

Somme infinie, si |q| < 1 : u₀ / (1 − q)

Les deux écritures de la somme finie sont égales : la seconde évite les signes négatifs quand q > 1.

Hypothèses

La formule de la somme finie exige q ≠ 1 (si q = 1, la somme vaut simplement n u₀). La somme infinie n’existe que si |q| < 1 : sinon les termes ne tendent pas vers zéro et la série diverge.

Résultat utile

Comportement de qⁿ : il tend vers 0 si |q| < 1, vers +∞ si q > 1. C’est pourquoi la valeur actuelle d’une rente perpétuelle est finie (vⁿ → 0) alors que la valeur acquise d’un placement explose avec le temps.

Exemple corrigé

Un placement de 1 000 € rapporte 4 % par an. Valeur acquise au bout de 5 ans ?

1 000 × 1,04⁵ = 1 000 × 1,21665 = 1 216,65 €

Et si l’on place 1 000 € au début de chaque année pendant 5 ans, que vaut l’ensemble à la fin de la cinquième année ? Chaque versement est capitalisé entre 1 et 5 ans : les valeurs acquises forment une suite géométrique de raison 1,04, dont on somme les cinq termes :

1 000 × (1,04 + 1,04² + … + 1,04⁵) = 1 000 × 1,04 × (1,04⁵ − 1) / 0,04 = 1 000 × 1,04 × 5,41632 = 5 632,98 €

En notation actuarielle, c’est 1 000 × s̈₅ : la valeur acquise d’une rente payable d’avance.

Erreurs fréquentes

• Compter n + 1 termes au lieu de n : la somme u₀ + … + u₀qⁿ a n + 1 termes et vaut u₀ (1 − qⁿ⁺¹) / (1 − q).
• Oublier le facteur u₀ devant la somme.
• Appliquer la somme infinie avec q > 1 : elle n’existe pas.
• Confondre croissance géométrique (× q chaque période, intérêts composés) et arithmétique (+ r chaque période, intérêts simples).