Calcul stochastique et évaluation sans arbitrage

• Étudiants de master en finance quantitative, en actuariat ou en mathématiques appliquées
• Candidats aux entretiens de quant et de structuration
• Actuaires qui veulent comprendre les générateurs de scénarios économiques

• Calculer avec le mouvement brownien : lois, covariances, probabilités
• Reconnaître une martingale et utiliser le théorème d’arrêt
• Appliquer le lemme d’Itô pour résoudre une équation différentielle stochastique
• Évaluer un produit dérivé sous la probabilité risque-neutre, de l’arbre binomial à Black-Scholes

1. 01Chapitre 1 · Probabilités pour la financeLes outils de probabilité dont la suite a besoin : information, espérance conditionnelle, vecteurs gaussiens.

   Au programme

   • Espaces de probabilité et variables aléatoires
   • Tribus et filtrations : modéliser l’information
   • L’espérance conditionnelle et ses propriétés
   • Vecteurs gaussiens
   • Convergences et loi des grands nombres
2. 02Chapitre 2 · Marche aléatoire et mouvement brownienDu jeu de pile ou face au mouvement brownien, et les propriétés qui le rendent si particulier.

   Au programme

   • La marche aléatoire et son passage à la limite
   • Définition et propriétés du mouvement brownien
   • Covariance, accroissements indépendants, invariance d’échelle
   • Variation quadratique : pourquoi (dW)² = dt
   • Temps d’atteinte et principe de réflexion

   Exercice : la variance d’une combinaison de browniensExercice : une probabilité sur un brownien
3. 03Chapitre 3 · MartingalesLe jeu équitable en mathématiques, et le théorème qui empêche de battre un jeu équitable.

   Au programme

   • Définition et premiers exemples
   • Les martingales construites sur le brownien
   • Temps d’arrêt et théorème d’arrêt
   • Sous-martingales et inégalités de Doob
   • La ruine du joueur

   Exercice : reconnaître une martingale
4. 04Chapitre 4 · L’intégrale d’ItôIntégrer contre le mouvement brownien : la construction, puis les règles de calcul qui en découlent.

   Au programme

   • Pourquoi l’intégrale classique ne suffit pas
   • Construction sur des processus simples
   • L’isométrie d’Itô
   • L’intégrale d’Itô est une martingale
   • Processus d’Itô : dérive et volatilité
5. 05Chapitre 5 · Le lemme d’ItôLa règle de dérivation du calcul stochastique, et ses applications immédiates.

   Au programme

   • Le lemme d’Itô en dimension un
   • D’où vient le terme du second ordre
   • Fonctions de plusieurs processus et covariation
   • Calculer des moments avec Itô
   • La formule d’intégration par parties

   Exercice : un moment calculé avec Itô
6. 06Chapitre 6 · Équations différentielles stochastiquesModéliser un cours ou un taux par une équation stochastique, et la résoudre quand c’est possible.

   Au programme

   • Existence et unicité des solutions
   • Le mouvement brownien géométrique
   • Le processus d’Ornstein-Uhlenbeck
   • Espérance, variance et loi des solutions
   • Le lien avec les équations aux dérivées partielles

   Exercice : l’espérance d’un brownien géométriqueExercice : sa médiane
7. 07Chapitre 7 · Absence d’opportunité d’arbitrageL’hypothèse qui fixe les prix : on ne gagne pas d’argent sans risque et sans mise de départ.

   Au programme

   • Définition d’un arbitrage
   • Prix à terme et parité call-put par arbitrage
   • Portefeuilles autofinancés et réplication
   • Marchés complets et incomplets
   • Le premier théorème fondamental de l’évaluation

   Exercice : exploiter un prix à terme trop élevé
8. 08Chapitre 8 · La probabilité risque-neutreChanger de probabilité pour évaluer : prix de marché du risque, théorème de Girsanov, numéraires.

   Au programme

   • Prix = espérance actualisée sous Q
   • Le prix de marché du risque
   • Le théorème de Girsanov
   • Changement de numéraire et probabilité forward
   • Risque-neutre ou monde réel : lequel utiliser ?

   Exercice : une probabilité risque-neutreExercice : le prix de marché du risque
9. 09Chapitre 9 · Black-Scholes revisitéRetrouver la formule de trois façons : par réplication, par l’équation aux dérivées partielles, par l’espérance.

   Au programme

   • L’équation aux dérivées partielles de Black-Scholes
   • La formule de Feynman-Kac
   • Calculer la formule par l’espérance risque-neutre
   • Les grecques dans l’équation
   • Quand la volatilité n’est plus constante
10. 10Chapitre 10 · Simuler une équation stochastiquePasser de l’équation au code : schémas de discrétisation, erreur, Monte Carlo en Python.

    Au programme

    • Simuler un mouvement brownien
    • Le schéma d’Euler-Maruyama
    • Le schéma de Milstein
    • Erreur forte et erreur faible
    • Évaluer une option par Monte Carlo en Python

    Exercice : un pas du schéma d’Euler

• W_tmouvement brownien
• E[X_t | F_s] = X_smartingale
• df(X_t)lemme d’Itô
• dS = μS dt + σS dWmouvement brownien géométrique
• AOAabsence d’opportunité d’arbitrage
• Qprobabilité risque-neutre

• Des chapitres rédigés

  La définition, l’intuition, la formule et d’où elle vient, un exemple chiffré et les erreurs fréquentes.

• Des exercices corrigés

  À trois niveaux, du calcul direct au jugement de praticien, avec chaque étape et les pièges classiques.

• Des fichiers pour pratiquer

  Classeurs Excel ou notebooks Python sur des données fictives (en préparation).

• Un contact par e-mail

  Une question sur le contenu ou une erreur repérée ? Écrivez-nous. Les erreurs confirmées sont corrigées ; il n’y a ni suivi individuel ni réponse garantie.

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