Modèles de taux, de volatilité et de sauts

• Étudiants de master 2 en finance quantitative ou en actuariat
• Actuaires ALM et modélisateurs de générateurs de scénarios économiques
• Candidats au FRM Partie II, pour la modélisation des taux

• Construire une courbe des taux et en déduire les taux forward
• Utiliser Vasicek, CIR et Hull-White pour valoriser des zéro-coupons et des options de taux
• Expliquer le smile de volatilité avec Heston et les sauts de Merton
• Simuler ces modèles en Python et vérifier un générateur de scénarios par des tests de martingalité

1. 01Chapitre 1 · La courbe des tauxZéro-coupons, taux forward et construction de la courbe à partir des prix de marché.

   Au programme

   • Prix zéro-coupon, taux actuariel, taux continu
   • Taux forward et taux court instantané
   • Construire la courbe à partir des swaps
   • Lisser : Nelson-Siegel et splines
   • La courbe de l’EIOPA et la méthode de Smith-Wilson

   Exercice : un taux forward
2. 02Chapitre 2 · Le modèle de VasicekUn taux court qui revient vers sa moyenne : loi, prix des zéro-coupons, probabilité de taux négatifs.

   Au programme

   • Dynamique et solution explicite
   • Moyenne, variance et loi stationnaire
   • Prix d’un zéro-coupon : la structure affine
   • Calibrer le modèle
   • La probabilité d’un taux négatif

   Exercice : le taux moyen dans VasicekExercice : la probabilité d’un taux négatif
3. 03Chapitre 3 · Le modèle CIRUne volatilité en racine carrée pour garder des taux positifs, et la condition qui le garantit.

   Au programme

   • La dynamique de Cox, Ingersoll et Ross
   • La condition de Feller
   • La loi du taux : un khi-deux non centré
   • Prix des zéro-coupons
   • CIR++ : un décalage pour reproduire la courbe

   Exercice : la condition de Feller
4. 04Chapitre 4 · Le modèle de Hull-White à un facteurUn Vasicek calé exactement sur la courbe du jour, le modèle de référence des banques et des assureurs.

   Au programme

   • Pourquoi caler θ(t) sur la courbe
   • Prix des zéro-coupons et des options sur zéro-coupon
   • Calibrer la volatilité sur des caps ou des swaptions
   • L’arbre trinomial de Hull-White
   • Deux facteurs : le modèle G2++

   Exercice : quel modèle autorise des taux négatifs ?
5. 05Chapitre 5 · Les modèles de marchéModéliser directement les taux observés : le modèle de Black, le LMM et la fin du Libor.

   Au programme

   • Le modèle de Black pour caps et swaptions
   • Le Libor Market Model
   • Les probabilités forward
   • Du Libor aux taux sans risque : €STR et SOFR
   • Volatilité normale et modèle de Bachelier
6. 06Chapitre 6 · Le smile de volatilitéPourquoi la volatilité implicite dépend du prix d’exercice, et ce que cela dit des modèles.

   Au programme

   • Volatilité implicite et smile
   • Le skew des actions, le smile des devises
   • Volatilité locale et formule de Dupire
   • Le modèle SABR en bref
   • Surfaces de volatilité sans arbitrage
7. 07Chapitre 7 · Le modèle de HestonUne variance aléatoire qui revient vers sa moyenne et qui est corrélée au cours : le smile s’explique.

   Au programme

   • Dynamique du cours et de la variance
   • Le rôle de chaque paramètre : κ, θ, ξ et ρ
   • Variance moyenne et structure par terme
   • Une formule semi-fermée par transformée de Fourier
   • Calibrer sur une surface de volatilité

   Exercice : la variance moyenne dans Heston
8. 08Chapitre 8 · Les modèles à sautsDes krachs dans le modèle : processus de Poisson, modèles de Merton et de Bates.

   Au programme

   • Processus de Poisson et sauts composés
   • Le modèle de Merton
   • Compenser les sauts pour rester sans arbitrage
   • Prix d’une option : une somme pondérée de prix de Black-Scholes
   • Volatilité stochastique et sauts : le modèle de Bates

   Exercice : la dérive dans le modèle de Merton
9. 09Chapitre 9 · Monte Carlo pour ces modèlesSimuler proprement : schémas exacts, discrétisation de Heston, réduction de variance.

   Au programme

   • Simulation exacte de Vasicek et de Hull-White
   • Simuler CIR et Heston sans variance négative : le schéma QE
   • Variables antithétiques et variables de contrôle
   • Suites quasi aléatoires
   • Mesurer la précision d’un prix

   Exercice : la précision d’un prix Monte Carlo
10. 10Chapitre 10 · Application à l’assurance vieLes générateurs de scénarios économiques : comment un assureur valorise les garanties de ses contrats.

    Au programme

    • Ce qu’est un générateur de scénarios économiques
    • Risque-neutre pour valoriser, monde réel pour projeter
    • Calibrer sur les taux et les volatilités de marché
    • Tests de martingalité et cohérence avec le marché
    • Valoriser la garantie en capital d’un fonds en euros

    Exercice : le coût d’une garantie en capital

• dr = a(b − r) dt + σ dWmodèle de Vasicek
• σ √r dWmodèle CIR
• θ(t)modèle de Hull-White
• dv = κ(θ − v) dt + ξ √v dWmodèle de Heston
• λ · kmodèle à sauts de Merton
• σvolatilité

• Des chapitres rédigés

  La définition, l’intuition, la formule et d’où elle vient, un exemple chiffré et les erreurs fréquentes.

• Des exercices corrigés

  À trois niveaux, du calcul direct au jugement de praticien, avec chaque étape et les pièges classiques.

• Des fichiers pour pratiquer

  Classeurs Excel ou notebooks Python sur des données fictives (en préparation).

• Un contact par e-mail

  Une question sur le contenu ou une erreur repérée ? Écrivez-nous. Les erreurs confirmées sont corrigées ; il n’y a ni suivi individuel ni réponse garantie.

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