Provisionnement non-vie : du triangle à la provision

1. On additionne les paiements des trois premières années :400 + 250 + 100 = 750 k€

1. Facteur cumulé de la première année jusqu’à l’ultime :1,60 × 1,25 × 1,00 = 2,00
2. Part payée la première année :1 / 2,00 = 50 %

1. Les IBNR se mesurent par rapport à la charge déjà déclarée :1 380 − 1 200 = 180 k€
2. Pour mémoire, la provision totale se décompose ainsi :(1 200 − 700) + 180 = 500 + 180 = 680 k€

1. Chain Ladder rapporte les sommes de colonnes :(1 500 + 400) / (1 000 + 200) = 1 900 / 1 200 ≈ 1,5833

La pondération protège contre les petites années atypiques : ici, l’année à 200 k€ a doublé, mais elle pèse cinq fois moins que l’autre.

1. Facteur cumulé jusqu’à l’ultime :1,80 × 1,20 × 1,05 × 1,00 = 2,268
2. Charge ultime :500 × 2,268 = 1 134 k€

1. Cumul attendu après trois années :800 × 1,15 = 920 k€
2. Paiement de l’année :920 − 800 = 120 k€

Prévoir les paiements année par année donne la cadence de liquidation, utile pour actualiser la provision.

1. Facteur de développement de 1 à 2, sur les années qui ont les deux colonnes :f₁ = (150 + 174) / (100 + 120) = 324 / 220 ≈ 1,4727
2. Facteur de 2 à 3, seule 2023 est connue :f₂ = 165 / 150 = 1,10
3. Charges ultimes :2024 : 174 × 1,10 = 191,42025 : 130 × 1,4727 × 1,10 = 210,6
4. Provision = ultime − déjà payé :(191,4 − 174) + (210,6 − 130) = 17,4 + 80,6 = 98,0 k€

La leçon Chain Ladder pas à pas reprend la méthode sur un triangle plus grand, avec ses limites. Notation : facteur de développement f_j.

1. Facteurs de développement :f₁ = (300 + 341) / (200 + 220) = 641 / 420 ≈ 1,5262f₂ = 330 / 300 = 1,10
2. Charges ultimes :2024 : 341 × 1,10 = 375,12025 : 250 × 1,5262 × 1,10 ≈ 419,7
3. Provision :(375,1 − 341) + (419,7 − 250) = 34,1 + 169,7 ≈ 203,8 k€

1. Charge ultime attendue :5 000 × 72 % = 3 600 k€
2. Provision :3 600 − 2 100 = 1 500 k€

Simple et stable, cette méthode ignore ce que dit le triangle : on l’utilise surtout pour l’année la plus récente.

1. Charge attendue a priori :2 000 × 70 % = 1 400 k€
2. Part encore à développer :1 − 1 / 1,25 = 20 %
3. Provision et charge ultime :1 400 × 20 % = 280 k€ puis 900 + 280 = 1 180 k€

Pour une année récente, peu développée, Bornhuetter-Ferguson est plus stable que Chain Ladder, qui multiplie un petit montant observé par un grand facteur.

1. Ce que coûtent désormais ces sinistres : 180 payés + 90 restants = 270 k€.
2. Boni :300 − 270 = 30 k€

Des bonis réguliers signalent un provisionnement prudent ; des malis répétés, une sous-estimation.

1. Facteurs de développement :f₁ = (800 + 900 + 950) / (500 + 550 + 600) = 2 650 / 1 650 ≈ 1,6061f₂ = (880 + 990) / (800 + 900) = 1 870 / 1 700 = 1,10f₃ = 900 / 880 ≈ 1,0227
2. Charge ultime 2025 :650 × 1,6061 × 1,10 × 1,0227 ≈ 1 174,4 k€
3. Provision 2025 :1 174,4 − 650 ≈ 524,4 k€

L’année la plus récente porte l’essentiel de la provision alors qu’elle repose sur un seul montant observé : c’est là que Chain Ladder est le plus fragile.