La prime pure : définition, calcul et exemples

Définition

La prime pure, aussi appelée prime de risque, est l’espérance mathématique de la charge des sinistres d’un contrat sur une période donnée, en général un an. Elle répond à une seule question : combien l’assureur doit-il s’attendre à payer, en moyenne, pour ce risque ?

Elle ne contient rien d’autre : ni frais de gestion, ni commissions, ni marge, ni taxes. Un assureur qui ne facturerait que la prime pure couvrirait ses sinistres en moyenne, mais pas ses coûts de fonctionnement.

Prime pure et prime commerciale

La prime payée par l’assuré, appelée prime commerciale, ajoute à la prime pure des chargements :

• les frais d’acquisition (commissions des distributeurs, marketing) ;
• les frais de gestion des contrats et des sinistres ;
• une marge de sécurité et de bénéfice ;
• puis les taxes, qui s’appliquent en dernier.

Prime commerciale hors taxes = prime pure + chargements

Quand les chargements sont exprimés en pourcentage de la prime commerciale, la formule devient :

Prime commerciale hors taxes = prime pure / (1 − taux de chargement)

En assurance non-vie : fréquence × coût moyen

En assurance non-vie (automobile, habitation, santé), on décompose la charge en deux questions : combien de sinistres surviennent, et combien coûte chacun.

Prime pure = fréquence × coût moyen

• La fréquence est le nombre moyen de sinistres par contrat et par an.
• Le coût moyen est le montant moyen d’un sinistre.

Exemple : un contrat habitation subit en moyenne 0,05 sinistre par an (une fréquence de 5 %) et un sinistre coûte en moyenne 2 000 €. La prime pure vaut 0,05 × 2 000 = 100 € par an.

Derrière cette formule se trouve le modèle collectif : la charge totale S est la somme d’un nombre aléatoire N de sinistres X₁, …, X_N. Si N est indépendant des montants et que les montants suivent tous la même loi, alors E[S] = E[N] × E[X].

En assurance vie : l’équivalence actuarielle

En assurance vie, le paiement dépend de la survie ou du décès de l’assuré, et il intervient souvent plus tard. On utilise donc des probabilités issues d’une table de mortalité, et on actualise les montants au taux technique.

Le principe d’équivalence actuarielle fixe la prime pure de sorte que la valeur actuelle probable des primes soit égale à la valeur actuelle probable des prestations.

Exemple : une assurance temporaire décès d’un an verse 100 000 € en fin d’année si l’assuré décède. Sa probabilité de décès dans l’année est q_x = 0,2 %, le taux technique est de 1 % et la prime est payée en début d’année.

Prime pure = 100 000 × 0,002 / 1,01 ≈ 198,02 €

Le capital est multiplié par la probabilité qu’il soit versé, puis actualisé d’un an, car il est payé en fin d’année alors que la prime est encaissée au début.

En notation actuarielle, cette prime s’écrit 100 000 · A¹_x:1, avec A¹_x:1 = v · q_x : la temporaire décès d’un an. Le lexique détaille toute la notation de l’assurance vie.

Exercice corrigé

Un portefeuille de 2 000 contrats habitation a enregistré 140 sinistres sur un an, pour une charge totale de 420 000 €.

1. Calculez la fréquence et le coût moyen.
2. Déduisez-en la prime pure par contrat.
3. Les chargements représentent 25 % de la prime commerciale hors taxes. Quelle est cette prime ?

Ce qu’il faut retenir

• La prime pure est le coût moyen attendu des sinistres, sans frais ni marge.
• En non-vie, elle vaut fréquence × coût moyen.
• En vie, elle se calcule par équivalence actuarielle, avec des probabilités et de l’actualisation.
• La prime commerciale ajoute les chargements, puis les taxes.

Pour aller plus loin