Dans cette leçon 10 parties
Pourquoi provisionner ?
Un sinistre n’est presque jamais payé le jour où il survient. Il faut le temps de le déclarer, de l’instruire puis de le régler, parfois sur plusieurs années. À chaque clôture, l’assureur estime et met de côté ce qu’il paiera encore pour les sinistres déjà survenus : c’est la provision pour sinistres à payer.
Une partie concerne des sinistres déjà connus. Une autre concerne des sinistres survenus mais pas encore déclarés : les IBNR, pour incurred but not reported.
Le triangle de liquidation
On range les paiements cumulés dans un tableau : une ligne par année de survenance, une colonne par année de développement. Les années récentes ont moins de recul, d’où la forme en triangle. Les cases jaunes sont celles que l’on cherche à estimer.
| Survenance | Dév. 1 | Dév. 2 | Dév. 3 | Dév. 4 |
|---|---|---|---|---|
| 2022 | 1 000 | 1 500 | 1 650 | 1 700 |
| 2023 | 1 100 | 1 700 | 1 870 | ? |
| 2024 | 1 200 | 1 750 | ? | ? |
| 2025 | 1 300 | ? | ? | ? |
Étape 1 : les facteurs de développement
Pour chaque passage d’une colonne à la suivante, on divise la somme des montants de la colonne suivante par la somme des montants correspondants de la colonne actuelle, sur les années où les deux sont connus.
Dév. 1 vers 2 : (1 500 + 1 700 + 1 750) / (1 000 + 1 100 + 1 200) = 4 950 / 3 300 = 1,500 Dév. 2 vers 3 : (1 650 + 1 870) / (1 500 + 1 700) = 3 520 / 3 200 = 1,100 Dév. 3 vers 4 : 1 700 / 1 650 ≈ 1,0303En notation : on note Ci,j le montant cumulé de l’année de survenance i après j années de développement. Le facteur s’écrit alors fj = Σi Ci,j+1 / Σi Ci,j. Voir le lexique.
Étape 2 : la charge ultime
Pour chaque année, on part du dernier montant connu et on le multiplie par les facteurs des passages qui restent. L’année 2022 est déjà entièrement développée : sa charge ultime est de 1 700.
2023 : 1 870 × 1,0303 ≈ 1 926,7 2024 : 1 750 × 1,100 × 1,0303 ≈ 1 983,3 2025 : 1 300 × 1,500 × 1,100 × 1,0303 ≈ 2 210,0Étape 3 : la provision
La provision est l’écart entre la charge ultime et ce qui a déjà été payé.
| Survenance | Déjà payé | Ultime | Provision |
|---|---|---|---|
| 2022 | 1 700 | 1 700,0 | 0,0 |
| 2023 | 1 870 | 1 926,7 | 56,7 |
| 2024 | 1 750 | 1 983,3 | 233,3 |
| 2025 | 1 300 | 2 210,0 | 910,0 |
| Total | 1 200,0 |
L’assureur doit donc provisionner 1 200 milliers d’euros, soit 1,2 million d’euros.
Et les IBNR ?
Sur un triangle de paiements, la provision couvre tout ce qui reste à payer : les dossiers déjà connus comme les sinistres pas encore déclarés. Pour isoler les IBNR, on applique la même méthode à un triangle de charges, c’est-à-dire les paiements plus les estimations des gestionnaires sur les dossiers ouverts. Les IBNR sont alors l’écart entre la charge ultime et la charge déjà déclarée.
Les hypothèses et les limites
- Chain Ladder suppose que toutes les années se développent au même rythme. Un changement dans la gestion des sinistres, dans le portefeuille ou dans l’inflation casse cette hypothèse.
- L’année la plus récente est la plus fragile : son ultime enchaîne tous les facteurs et repose sur un seul montant observé. Ici, 2025 pèse 910 des 1 200 de provision.
- La méthode donne une estimation centrale, sans mesure d’incertitude. Pour la mesurer, on utilise par exemple le modèle de Mack ; pour les années récentes, la méthode de Bornhuetter-Ferguson combine le triangle avec une estimation a priori.
En assurance santé
En santé, les sinistres se règlent vite : l’essentiel est payé en quelques mois. On travaille donc souvent sur des triangles mensuels ou trimestriels plutôt qu’annuels, avec exactement la même logique.
Quiz rapide
Si le facteur de 3 vers 4 passait de 1,0303 à 1,05, quelles années seraient touchées ?
Toutes celles qui n’ont pas encore atteint la quatrième année de développement : 2023, 2024 et 2025. Seule 2022 ne bouge pas.
Pourquoi l’année 2025 est-elle la plus incertaine ?
Son ultime repose sur un seul montant observé, multiplié par trois facteurs. La moindre erreur sur l’un d’eux se répercute entièrement sur sa provision.
La provision d’un triangle de paiements, ce ne sont que des IBNR ?
Non. Elle couvre aussi ce qui reste à payer sur les sinistres déjà déclarés. Les IBNR se lisent sur un triangle de charges.
Pour aller plus loin
La référence française sur le sujet : le Guide de provisionnement des sinistres en assurance non-vie de l’Institut des actuaires (2023).
Un cas réel en santé : le calcul des provisions techniques en assurance santé pour expatriés (mémoire d’actuariat, ISFA).
À vous de jouer : votre premier Chain Ladder, avec vérification de votre réponse, puis l’atelier Chain Ladder, sur une extraction fictive de 1 706 règlements à télécharger. Pour revoir les bases de la tarification : la prime pure, définition et calcul.
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Le cours Provisionnement non-vie reprend la méthode sur des triangles réels, avec ses variantes et des exercices corrigés.