Dans cette leçon 10 parties
- Pourquoi une provision ?
- La prime, par équivalence actuarielle
- La méthode prospective : regarder devant
- La méthode rétrospective : regarder derrière
- La récurrence de Fouret : année après année
- En épargne : une provision qui grandit
- Provision mathématique et Solvabilité 2
- Quiz rapide
- Ce qu’il faut retenir
- Pour aller plus loin
Pourquoi une provision ?
Prenons une assurance temporaire décès de deux ans : l’assureur verse 100 000 € à la fin de l’année du décès si l’assuré, aujourd’hui âgé de 60 ans, décède avant ses 62 ans. L’assuré paie deux primes égales, en début d’année, tant qu’il est en vie. Taux technique : 2 %.
| Âge x | 60 | 61 | 62 | 63 | 64 | 65 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| lx | 90 000 | 89 100 | 88 110 | 87 020 | 85 830 | 84 520 |
Le risque de décès augmente avec l’âge : q60 = 900 / 90 000 = 1 % la première année, q61 = 990 / 89 100 ≈ 1,11 % la seconde. La prime, elle, reste constante. La première année, l’assuré paie donc un peu plus que son risque ; la seconde, un peu moins. L’excédent de la première année doit être mis de côté pour financer le déficit de la seconde : c’est la provision mathématique.
La prime, par équivalence actuarielle
La valeur actuelle probable des prestations vaut :
100 000 × (900 / 1,02 + 990 / 1,02²) / 90 000 ≈ 2 037,68 €Celle de deux primes de 1 €, la seconde payée seulement si l’assuré est en vie à 61 ans :
ä = 1 + 0,99 / 1,02 ≈ 1,9706L’équivalence actuarielle égalise les deux : P = 2 037,68 / 1,9706 ≈ 1 034,05 € par an. Comparons-la au coût de chaque année de couverture, actualisé au début de l’année :
Année 1 : 100 000 × q60 / 1,02 = 100 000 × 0,01 / 1,02 ≈ 980,39 € Année 2 : 100 000 × q61 / 1,02 = 100 000 × 0,011111 / 1,02 ≈ 1 089,32 €La prime de 1 034,05 € dépasse le coût de la première année et ne couvre pas celui de la seconde.
La méthode prospective : regarder devant
À une date donnée, la provision prospective est la valeur des engagements futurs de l’assureur, moins celle des engagements futurs de l’assuré :
tV = VAP(prestations futures) − VAP(primes futures)
Un an plus tard, l’assuré a 61 ans et s’apprête à payer sa seconde prime :
1V = 1 089,32 − 1 034,05 ≈ 55,28 €À la souscription, la provision est nulle : c’est exactement ce que dit l’équivalence actuarielle. À l’échéance, elle est nulle aussi, puisqu’il ne reste plus rien à payer.
La méthode rétrospective : regarder derrière
On peut aussi partir du passé : capitaliser les primes encaissées, retirer les sinistres payés, puis répartir le tout entre les assurés encore en vie.
1V = (1 034,05 × 1,02 − 100 000 × q60) / p60 = (1 054,73 − 1 000) / 0,99 ≈ 55,28 €Les deux méthodes donnent le même résultat, à condition d’utiliser les mêmes hypothèses que pour la prime : même table, même taux. C’est un bon moyen de vérifier un calcul.
La récurrence de Fouret : année après année
D’une année à l’autre, la provision évolue selon une relation simple : la provision du début d’année et la prime, capitalisées un an, financent le sinistre éventuel de l’année et la provision des survivants.
(tV + P) × (1 + i) = qx+t × C + px+t × t+1V
Vérification sur la seconde année, à l’issue de laquelle la provision est nulle :
(55,28 + 1 034,05) × 1,02 ≈ 1 111,1 et q61 × 100 000 ≈ 1 111,1C’est cette relation que les outils de projection appliquent, période après période et contrat par contrat, pour calculer les provisions d’un portefeuille entier.
En épargne : une provision qui grandit
Dans un contrat d’épargne, la provision ne revient pas à zéro : elle s’accumule jusqu’à l’échéance. Prenons un capital différé : 10 000 € versés à 65 ans si l’assuré, âgé de 60 ans, est encore en vie, financés par une prime unique de 8 505,82 €.
À chaque date, la provision vaut la valeur actuelle probable du capital restant à verser, 10 000 × 5−tE60+t :
| Date t | Âge | Provision |
|---|---|---|
| 0 | 60 | 8 505,82 |
| 1 | 61 | 8 763,57 |
| 2 | 62 | 9 039,28 |
| 3 | 63 | 9 335,55 |
| 4 | 64 | 9 654,29 |
| 5 | 65 | 10 000,00 |
Elle grandit pour deux raisons : les intérêts techniques, et la mortalité. Les provisions des assurés décédés, qui ne recevront rien, profitent aux survivants. Vérification rétrospective pour la première année : 8 505,82 × 1,02 / 0,99 ≈ 8 763,57 €.
Provision mathématique et Solvabilité 2
La provision mathématique est calculée avec les hypothèses du contrat : la table et le taux technique fixés à la souscription. Dans le bilan prudentiel de Solvabilité 2, les mêmes engagements sont évalués en best estimate, avec des hypothèses à jour et la courbe des taux du moment, puis complétés par une marge de risque.
Quiz rapide
Une provision mathématique peut-elle être négative ?
Le calcul prospectif peut en donner une si l’assuré doit encore plus à l’assureur que l’inverse. En pratique, on ne retient pas de provision négative : l’assuré peut cesser de payer ses primes, et l’assureur ne peut pas l’y obliger.
Pourquoi la provision du capital différé dépasse-t-elle la prime capitalisée, 8 505,82 × 1,02 ?
Parce que les assurés décédés n’ont plus droit à rien : leur part est répartie entre les survivants. D’où la division par p60 = 0,99.
À quoi sert la relation de Fouret ?
À passer d’une provision à la suivante sans tout recalculer. C’est la logique des outils de projection et des contrôles de cohérence lors d’un arrêté.
Ce qu’il faut retenir
- La provision mathématique naît du décalage entre des primes constantes et un risque qui évolue.
- Prospective : engagements futurs de l’assureur moins ceux de l’assuré.
- Rétrospective : primes capitalisées moins sinistres payés, répartis entre les survivants. Les deux coïncident.
- En prévoyance, elle revient à zéro ; en épargne, elle grandit jusqu’au capital.
Pour aller plus loin
À vous de jouer : des primes annuelles par équivalence actuarielle, puis la provision mathématique après un an.
Les notations : provision mathématique, temporaire décès et rente viagère dans le lexique.
Les bases de la tarification vie : la prime pure.
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