Dans cette leçon 11 parties
- Le point de départ : fréquence × coût moyen
- Mesurer l’exposition
- Pourquoi segmenter le tarif
- Le piège de l’analyse variable par variable
- Le tarif multiplicatif et le GLM
- Franchises et plafonds
- La crédibilité : faire confiance à l’expérience, mais pas trop
- Du tarif technique au tarif commercial
- Quiz rapide
- Ce qu’il faut retenir
- Pour aller plus loin
Le point de départ : fréquence × coût moyen
En assurance non-vie, la prime pure d’un contrat est le coût moyen attendu de ses sinistres sur un an. On la décompose en deux questions : combien de sinistres, et combien coûte chacun.
Prime pure = fréquence × coût moyen
La leçon sur la prime pure détaille cette formule et le passage à la prime commerciale. Ici, on s’intéresse à la suite : mesurer proprement ces deux grandeurs, puis les faire varier d’un assuré à l’autre.
Mesurer l’exposition
Un contrat souscrit le 1er juillet n’a été couvert que six mois : il a eu deux fois moins de temps pour déclarer un sinistre qu’un contrat présent toute l’année. On mesure donc la taille d’un portefeuille en contrats-années : c’est l’exposition.
Exemple : 800 contrats présents toute l’année et 400 souscrits au 1er juillet font 800 + 400 × 0,5 = 1 000 contrats-années. Avec 66 sinistres, la fréquence vaut 66 / 1 000 = 6,6 %, et non 66 / 1 200 = 5,5 %.
Le coût moyen, lui, se calcule par sinistre : la charge totale divisée par le nombre de sinistres. On sépare les deux grandeurs car elles ne réagissent pas aux mêmes facteurs. Un jeune conducteur a plus d’accidents ; une voiture puissante coûte plus cher à réparer.
Pourquoi segmenter le tarif
Imaginons un marché où la moitié des conducteurs sont jeunes, avec une prime pure de 300 €, et l’autre moitié expérimentés, avec une prime pure de 100 €. Un assureur qui facture 200 € à tout le monde couvre ses sinistres en moyenne.
Mais si un concurrent propose 100 € aux conducteurs expérimentés, ceux-ci partent. L’assureur ne garde que les jeunes, qui lui coûtent 300 € pour 200 € encaissés : il perd 100 € par contrat. C’est l’anti-sélection. Pour l’éviter, le tarif doit suivre le risque de chaque profil : c’est la segmentation.
Le piège de l’analyse variable par variable
Voici un portefeuille automobile, découpé selon deux variables : la zone et l’âge du conducteur.
| Profil | Exposition | Sinistres | Fréquence |
|---|---|---|---|
| Rural, expérimenté | 6 000 | 300 | 5,0 % |
| Rural, jeune | 1 000 | 90 | 9,0 % |
| Urbain, expérimenté | 4 000 | 320 | 8,0 % |
| Urbain, jeune | 1 000 | 144 | 14,4 % |
| Total | 12 000 | 854 | 7,1 % |
Comparons d’abord les zones, tous âges confondus :
Urbain : (320 + 144) / (4 000 + 1 000) = 9,28 % Rural : (300 + 90) / (6 000 + 1 000) ≈ 5,57 %La ville semble multiplier la fréquence par 9,28 / 5,57 ≈ 1,67. C’est trop : 20 % des conducteurs urbains sont jeunes, contre 14 % en zone rurale. Une partie de l’effet « ville » est en réalité un effet « jeune ». De même, l’âge seul suggère un coefficient de 11,7 % / 6,2 % ≈ 1,89 pour les jeunes, gonflé par leur présence plus forte en ville.
Le tarif multiplicatif et le GLM
Le modèle linéaire généralisé, ou GLM, estime tous les effets en même temps. Pour la fréquence, on utilise en général une loi de Poisson avec un lien logarithme, et le logarithme de l’exposition en décalage (offset) :
ln E[N] = ln(exposition) + β0 + β1 · urbain + β2 · jeune
En passant à l’exponentielle, les effets se multiplient. Sur notre portefeuille, le GLM retrouve exactement :
base, rural et expérimenté : eβ0 = 5 % coefficient urbain : eβ1 = 1,6 coefficient jeune : eβ2 = 1,8Un jeune conducteur urbain a ainsi une fréquence de 5 % × 1,6 × 1,8 = 14,4 %, exactement celle que l’on observe. Les vrais coefficients sont 1,6 et 1,8, et non 1,67 et 1,89 : le GLM a séparé les deux effets.
On construit de la même façon un GLM pour le coût moyen, en général avec une loi gamma. La prime pure de chaque profil est le produit des deux modèles. Les tarifs réels comptent des dizaines de variables : âge, ancienneté du permis, véhicule, zone, usage, bonus-malus.
Franchises et plafonds
Une franchise laisse à la charge de l’assuré une partie de chaque sinistre : elle supprime les petits sinistres et rabote tous les autres.
Exemple : un sinistre coûte 500 € avec une probabilité de 60 %, 2 000 € avec 30 % et 10 000 € avec 10 %, et la fréquence est de 8 %. Sans franchise, la prime pure vaut 8 % × 1 900 = 152 €. Avec une franchise de 1 000 € par sinistre, l’assureur paie 0, 1 000 ou 9 000 €, soit 1 200 € en moyenne, et la prime pure tombe à 96 €.
À l’inverse, un plafond de garantie limite ce que l’assureur paie sur un sinistre. Il protège surtout contre les sinistres extrêmes, ceux qui pèsent sur la queue de la distribution.
La crédibilité : faire confiance à l’expérience, mais pas trop
Une entreprise assurée en santé collective a coûté 900 € par salarié et par an sur quatre ans, contre 600 € au tarif du marché. Faut-il lui facturer 900 € ? Quatre années, c’est peu : une partie de l’écart vient sans doute du hasard.
La théorie de la crédibilité pondère les deux sources :
Prime = Z × expérience + (1 − Z) × marché
Dans le modèle de Bühlmann, Z = n / (n + k), où n est le nombre d’années observées et k le rapport entre la variabilité due au hasard, d’une année à l’autre, et les vraies différences de risque entre entreprises. Avec k = 6 : Z = 4 / 10 = 0,4, et la prime vaut 0,4 × 900 + 0,6 × 600 = 720 €.
Du tarif technique au tarif commercial
Le GLM donne une prime pure par profil. Il reste à ajouter les chargements (frais de gestion, commissions, marge), puis les taxes :
Prime pure 300 €, chargements de 25 % de la prime HT, taxes de 9 % : 300 / 0,75 × 1,09 = 436 € TTCLe tarif final intègre enfin des contraintes commerciales : arrondis, hausses limitées d’une année sur l’autre, positionnement face à la concurrence.
Quiz rapide
Un contrat présent trois mois compte pour combien de contrats-années ?
0,25. Ses sinistres comptent en entier, mais son exposition seulement pour un quart d’année.
Pourquoi ne pas tarifer avec les coefficients 1,67 et 1,89 de l’analyse variable par variable ?
Ils comptent deux fois le même effet, car les jeunes sont plus nombreux en ville. Appliqués ensemble, ils donneraient à un jeune urbain une fréquence de 5 % × 1,67 × 1,89 ≈ 15,7 %, au lieu des 14,4 % observés.
Une franchise de 1 000 € fait-elle baisser la prime pure de fréquence × 1 000 € ?
Non : un sinistre de 500 € ne fait économiser que 500 €. Dans l’exemple, la baisse est de 56 €, contre 8 % × 1 000 = 80 € si tous les sinistres dépassaient la franchise.
Ce qu’il faut retenir
- La fréquence se calcule sur l’exposition, en contrats-années ; le coût moyen, par sinistre.
- Un tarif unique attire les mauvais risques : il faut segmenter.
- L’analyse variable par variable mélange les effets ; le GLM les sépare et produit un tarif multiplicatif.
- Franchises et plafonds modifient la prime pure ; la crédibilité dose la confiance accordée à l’expérience.
Pour aller plus loin
À vous de jouer : les exercices de tarification, de l’exposition au bonus-malus, et une fréquence par zone avec pandas.
Les notations : exposition, GLM, franchise et crédibilité dans le lexique.
Pour mesurer le risque au-delà de la moyenne : le simulateur Monte Carlo.
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Le cours Tarification non-vie reprend chaque étape en détail, en dix chapitres : modèles de fréquence et de coût, GLM, zonier, franchises, crédibilité et bonus-malus, avec des exercices corrigés.