Mode Apprentissage · Assurance vie · 13 exercices · 73 min
Les probabilités viagères d’abord, puis les capitaux, les rentes, les primes par équivalence actuarielle et la provision mathématique.
Avant de commencer, mieux vaut connaître :
Avec la même table, quelle est la probabilité qu’une personne de 63 ans décède avant ses 64 ans ?
| Âge x | 60 | 61 | 62 | 63 | 64 | 65 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| lx | 90 000 | 89 100 | 88 110 | 87 020 | 85 830 | 84 520 |
Décès entre 63 et 64 ans.
Ce thème est approfondi dans le cours Actuariat vie, chapitre 1 : Tables de mortalité.
À l’aide de la table ci-dessous, calculez la probabilité qu’une personne de 60 ans soit encore en vie à 63 ans.
| Âge x | 60 | 61 | 62 | 63 | 64 | 65 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| lx | 90 000 | 89 100 | 88 110 | 87 020 | 85 830 | 84 520 |
Probabilité de survie de 60 à 63 ans.
Voir la notation tpx dans le lexique.
Ce thème est approfondi dans le cours Actuariat vie, chapitre 1 : Tables de mortalité.
Avec la même table, calculez la probabilité qu’une personne aujourd’hui âgée de 60 ans décède entre ses 62 et ses 63 ans.
| Âge x | 60 | 61 | 62 | 63 | 64 | 65 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| lx | 90 000 | 89 100 | 88 110 | 87 020 | 85 830 | 84 520 |
Nombre de décès entre 62 et 63 ans dans la table.
Ce thème est approfondi dans le cours Actuariat vie, chapitre 1 : Tables de mortalité.
Avec la table ci-dessous, combien d’années entières une personne de 60 ans vivra-t-elle en moyenne au cours des cinq prochaines années ?
| Âge x | 60 | 61 | 62 | 63 | 64 | 65 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| lx | 90 000 | 89 100 | 88 110 | 87 020 | 85 830 | 84 520 |
L’espérance de vie temporaire, en années entières, additionne les probabilités d’être en vie à chaque anniversaire.
Ce thème est approfondi dans le cours Actuariat vie, chapitre 1 : Tables de mortalité.
Un assureur versera 10 000 € dans un an à un assuré aujourd’hui âgé de 60 ans, uniquement s’il est encore en vie. La table de mortalité donne l60 = 90 000 et l61 = 89 100, et le taux technique est de 2 %.
Calculez la prime pure unique de ce contrat, payée aujourd’hui.
Probabilité de survie à un an.
En notation actuarielle, c’est 10 000 · 1E60, le capital différé, avec 1E60 = v · p60 ≈ 0,9706.
Ce thème est approfondi dans le cours Actuariat vie, chapitre 2 : Capitaux différés et valeurs actuelles probables.
Un assuré de 60 ans recevra 10 000 € à ses 65 ans s’il est encore en vie. Taux technique : 2 %.
Calculez la prime pure unique.
| Âge x | 60 | 61 | 62 | 63 | 64 | 65 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| lx | 90 000 | 89 100 | 88 110 | 87 020 | 85 830 | 84 520 |
Probabilité d’être en vie à 65 ans.
C’est 10 000 · 5E60, le capital différé.
Ce thème est approfondi dans le cours Actuariat vie, chapitre 2 : Capitaux différés et valeurs actuelles probables.
Un assureur verse 100 000 € à la fin de l’année du décès si l’assuré, aujourd’hui âgé de 60 ans, décède avant ses 62 ans. Taux technique : 2 %.
Calculez la prime pure unique, avec la table ci-dessous.
| Âge x | 60 | 61 | 62 | 63 | 64 | 65 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| lx | 90 000 | 89 100 | 88 110 | 87 020 | 85 830 | 84 520 |
Décès de la première et de la deuxième année.
En notation actuarielle : 100 000 · A160:2. Voir la temporaire décès.
Ce thème est approfondi dans le cours Actuariat vie, chapitre 3 : Assurances en cas de décès.
Un assuré de 60 ans reçoit 1 000 € au début de chaque année pendant au plus 3 ans, tant qu’il est en vie (premier versement immédiat). Taux technique : 2 %.
Quelle est la valeur actuelle probable de cette rente ?
| Âge x | 60 | 61 | 62 | 63 | 64 | 65 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| lx | 90 000 | 89 100 | 88 110 | 87 020 | 85 830 | 84 520 |
Probabilités d’être en vie à chaque versement.
Ce thème est approfondi dans le cours Actuariat vie, chapitre 4 : Rentes viagères.
Un assuré de 60 ans recevra 1 000 € à la fin de chacune des trois prochaines années, tant qu’il est en vie. Taux technique : 2 %.
Quelle est la valeur actuelle probable de cette rente ?
| Âge x | 60 | 61 | 62 | 63 | 64 | 65 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| lx | 90 000 | 89 100 | 88 110 | 87 020 | 85 830 | 84 520 |
Probabilités d’être en vie à 61, 62 et 63 ans.
Ce thème est approfondi dans le cours Actuariat vie, chapitre 4 : Rentes viagères.
Un assuré de 60 ans recevra 1 000 € à ses 63, 64 et 65 ans, à chaque fois s’il est encore en vie. Taux technique : 2 %.
Calculez la valeur actuelle probable de ces versements, à 60 ans.
| Âge x | 60 | 61 | 62 | 63 | 64 | 65 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| lx | 90 000 | 89 100 | 88 110 | 87 020 | 85 830 | 84 520 |
Chaque versement est pondéré par la probabilité d’être en vie à sa date, puis actualisé.
C’est une rente viagère payable d’avance, différée de 3 ans et temporaire de 3 ans. Voir le capital différé et la rente viagère dans le lexique.
Ce thème est approfondi dans le cours Actuariat vie, chapitre 4 : Rentes viagères. Leçon associée : les provisions mathématiques.
On reprend la temporaire décès de deux ans (capital 100 000 €, assuré de 60 ans, taux 2 %), dont la prime unique vaut 2 037,68 €. L’assuré préfère payer deux primes annuelles égales, au début de chaque année, tant qu’il est en vie.
Quel est le montant de chaque prime ?
| Âge x | 60 | 61 | 62 | 63 | 64 | 65 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| lx | 90 000 | 89 100 | 88 110 | 87 020 | 85 830 | 84 520 |
Valeur actuelle probable de deux primes de 1 €.
Ce thème est approfondi dans le cours Actuariat vie, chapitre 6 : Primes pures et équivalence actuarielle. Leçon associée : les provisions mathématiques.
Une temporaire décès de deux ans (capital 100 000 €, souscrite à 60 ans, taux technique 2 %) est financée par deux primes annuelles de 1 034,05 €, payées en début d’année. Un an plus tard, l’assuré a 61 ans et s’apprête à payer sa seconde prime.
Calculez la provision mathématique à cette date, par la méthode prospective (q61 = 990 / 89 100, taux 2 %).
Engagement restant de l’assureur, une année de couverture.
La provision est faible mais positive : la première prime a un peu surpayé le risque de la première année, plus faible que celui de la seconde.
Ce thème est approfondi dans le cours Actuariat vie, chapitre 8 : Provisions mathématiques. Leçon associée : les provisions mathématiques.
Un contrat verse 10 000 € à la fin de l’année du décès si l’assuré, âgé de 60 ans, décède dans les deux ans, et 10 000 € au bout de deux ans s’il est en vie. Taux technique : 2 %.
Quelle est la prime pure unique ?
| Âge x | 60 | 61 | 62 | 63 | 64 | 65 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| lx | 90 000 | 89 100 | 88 110 | 87 020 | 85 830 | 84 520 |
Garantie décès, temporaire de deux ans.
Une assurance mixte paie à coup sûr, en cas de vie comme de décès : sa prime est proche de la valeur actuelle du capital, 10 000 / 1,02² ≈ 9 611,69 €.
Ce thème est approfondi dans le cours Actuariat vie, chapitre 5 : Épargne et contrats mixtes.
Parcours suivant : Épargne et rentabilité d’une affaire nouvelle.