Mode Apprentissage · Calcul stochastique · 17 exercices · 59 min
Le mouvement brownien et le lemme d’Itô, le brownien géométrique et la probabilité risque-neutre, puis les modèles de taux et de volatilité.
Avant de commencer, mieux vaut connaître :
W est un mouvement brownien standard.
Quelle est la probabilité que W4 dépasse 2 ?
W₄ suit la loi normale de moyenne 0 et de variance 4, donc d’écart-type 2.
Ce thème est approfondi dans le cours Calcul stochastique, chapitre 2 : Marche aléatoire et mouvement brownien.
W est un mouvement brownien standard.
Que vaut la variance de 2 W1 − W3 ?
On décompose en accroissements indépendants.
Ce thème est approfondi dans le cours Calcul stochastique, chapitre 2 : Marche aléatoire et mouvement brownien.
W est un mouvement brownien standard. Lequel de ces processus est une martingale ?
Choisissez une réponse : la correction s’affiche aussitôt.
Une martingale a une espérance conditionnelle égale à sa valeur présente : en particulier, son espérance est constante.
Ce thème est approfondi dans le cours Calcul stochastique, chapitre 3 : Martingales.
W est un mouvement brownien standard. En appliquant la formule d’Itô à Wt⁴, calculez E[W2⁴].
Formule d’Itô pour f(x) = x⁴.
Ce thème est approfondi dans le cours Calcul stochastique, chapitre 5 : Le lemme d’Itô.
Un cours suit dS = 6 % S dt + 20 % S dW, avec S0 = 100.
Quelle est l’espérance de S dans deux ans ?
La solution est St = S0 exp((μ − σ²/2) t + σ Wt).
Ce thème est approfondi dans le cours Calcul stochastique, chapitre 6 : Équations différentielles stochastiques.
Même cours : dS = 6 % S dt + 20 % S dW, avec S0 = 100.
Quelle est la médiane de S dans deux ans ?
La médiane de S₂ correspond à la médiane de W₂, qui vaut 0.
Ce thème est approfondi dans le cours Calcul stochastique, chapitre 6 : Équations différentielles stochastiques.
Un actif vaut 50 €. À la prochaine date, il vaudra 60 € ou 45 €. Le taux sans risque est nul.
Quelle est la probabilité risque-neutre de la hausse ?
Avec un taux nul, on cherche q tel que l’espérance du prix futur égale le prix actuel.
Ce thème est approfondi dans le cours Calcul stochastique, chapitre 8 : La probabilité risque-neutre.
Une action a un rendement espéré de 8 % et une volatilité de 25 %. Le taux sans risque est de 3 %.
Quel est le prix de marché du risque, qui intervient dans le changement de probabilité de Girsanov ?
Prix de marché du risque.
Ce thème est approfondi dans le cours Calcul stochastique, chapitre 8 : La probabilité risque-neutre.
Une action sans dividende cote 100 €, le taux sans risque continu est de 3 %. Un intermédiaire propose un prix à terme à un an de 105 €.
Quel gain sans risque, par action, un arbitragiste réalise-t-il à l’échéance ?
Prix à terme d’équilibre.
C’est exactement ce qu’interdit l’hypothèse d’absence d’opportunité d’arbitrage.
Ce thème est approfondi dans le cours Calcul stochastique, chapitre 7 : Absence d’opportunité d’arbitrage.
On simule dX = −2 X dt + 0,5 dW avec X0 = 1, un pas de 0,1 et un accroissement brownien tiré ΔW = 0,3.
Que vaut X après un pas ?
Ce thème est approfondi dans le cours Calcul stochastique, chapitre 10 : Simuler une équation stochastique.
Les zéro-coupons à 1 et 2 ans valent 0,97 et 0,94.
Quel est le taux forward annuel entre 1 et 2 ans ?
Placer 1 € pour deux ans doit rapporter autant que le placer un an, puis réinvestir au taux forward.
Ce thème est approfondi dans le cours Modèles de taux et de volatilité, chapitre 1 : La courbe des taux.
Parmi ces modèles de taux court, lequel peut produire des taux négatifs ?
Choisissez une réponse : la correction s’affiche aussitôt.
Dans Vasicek, le taux est gaussien : il peut devenir négatif, ce qui est devenu un atout quand les taux de la zone euro l’ont été.
Ce thème est approfondi dans le cours Modèles de taux et de volatilité, chapitre 4 : Le modèle de Hull-White à un facteur.
Le taux court suit le modèle de Vasicek dr = 0,5 (3 % − r) dt + 1 % dW, avec r0 = 1 %.
Quelle est l’espérance du taux court dans deux ans ?
Espérance dans le modèle de Vasicek.
Ce thème est approfondi dans le cours Modèles de taux et de volatilité, chapitre 2 : Le modèle de Vasicek.
Le taux court suit le modèle de Vasicek dr = a (b − r) dt + σ dW, avec a = 0,5, b = 3 %, σ = 1 % et r0 = 1 %. Dans deux ans, le taux court suit une loi normale d’espérance r0 e−at + b (1 − e−at) ≈ 2,264 % et de variance σ² (1 − e−2at) / (2a).
Quelle est la probabilité que le taux court soit négatif dans deux ans ?
Le modèle de Vasicek autorise les taux négatifs, contrairement au modèle CIR.
Ce thème est approfondi dans le cours Modèles de taux et de volatilité, chapitre 2 : Le modèle de Vasicek.
Dans le modèle CIR dr = 0,3 (4 % − r) dt + σ √r dW, la condition de Feller garantit que le taux reste strictement positif.
Quelle est la plus grande volatilité σ qui la respecte ?
Ce thème est approfondi dans le cours Modèles de taux et de volatilité, chapitre 3 : Le modèle CIR.
Dans le modèle de Heston, la variance suit dv = 2 (0,09 − v) dt + ξ √v dW, avec v0 = 0,04.
Quelle volatilité correspond à l’espérance de la variance dans un an ?
La variance a la même dynamique moyenne qu’un taux de Vasicek.
Ce thème est approfondi dans le cours Modèles de taux et de volatilité, chapitre 7 : Le modèle de Heston.
Dans le modèle à sauts de Merton, sous la probabilité risque-neutre, les sauts arrivent en moyenne 0,5 fois par an et font varier le cours de −10 % en moyenne. Le taux sans risque est de 3 %.
Quelle dérive faut-il donner à la partie continue du cours ?
Pour que le cours actualisé reste une martingale, on retire l’effet moyen des sauts, λk par an.
Ce thème est approfondi dans le cours Modèles de taux et de volatilité, chapitre 8 : Les modèles à sauts.
Parcours suivant : Modèles de taux et de volatilité.