Probabilités pour l’actuariat : des événements aux mesures de risque

1. Probabilité d’avoir au moins un contrat, par inclusion-exclusion :P(A ∪ H) = 0,30 + 0,20 − 0,10 = 0,40
2. Probabilité de n’en avoir aucun, le complémentaire :P(aucun) = 1 − 0,40 = 0,60, réponse D

Le piège : 0,56 suppose les contrats indépendants. Or 0,30 × 0,20 = 0,06, et non 0,10 : ils ne le sont pas.

1. Tous les comités :C(10, 3) = 120
2. Comités sans souscripteur :C(6, 3) = 20
3. Par complémentaire :120 − 20 = 100, réponse D

« At least one » appelle presque toujours le passage au complémentaire.

1. Probabilité de déclarer un sinistre, par la formule des probabilités totales :P(S) = 0,7 × 0,05 + 0,3 × 0,20 = 0,035 + 0,06 = 0,095
2. Formule de Bayes :P(H | S) = P(H) × P(S | H) / P(S) = 0,06 / 0,095 ≈ 0,632, réponse E

Un seul sinistre fait passer la probabilité d’être un haut risque de 30 % à 63 % : c’est l’intuition derrière les systèmes bonus-malus.

1. Probabilité de n’avoir aucun sinistre :P(N = 0) = e^−0,1 ≈ 0,9048
2. Probabilité d’en avoir au moins un :1 − 0,9048 ≈ 9,52 %

1. Loi de Poisson de moyenne 2 :P(N = k) = e⁻² × 2^k / k!
2. Au plus un sinistre, c’est zéro ou un :P(N ≤ 1) = e⁻² × (1 + 2) = 3e⁻² ≈ 0,406, réponse C

Bien lire at most (au plus), at least (au moins) et more than (strictement plus de) fait gagner des points faciles.

1. Loi binomiale de paramètres 10 et 0,1 :P(N = 2) = C(10, 2) × 0,1² × 0,9⁸
2. 45 × 0,01 × 0,4305 ≈ 0,1937, réponse B

1. La médiane m vérifie F(m) = 0,5 :1 − e^−m/1 000 = 0,5
2. m = 1 000 × ln 2 ≈ 693,15, réponse B

1. Le minimum de deux exponentielles indépendantes est exponentiel, de taux la somme des taux :λ = 1/2 + 1/3 = 5/6
2. Moyenne :1 / λ = 6/5 = 1,2 an, réponse B

1. Espérance :0,9 × 0 + 0,06 × 100 + 0,03 × 500 + 0,01 × 1 000 = 31

La perte moyenne sert à tarifer ; la VaR et la TVaR servent à dimensionner le capital.

1. Covariance, à partir de la corrélation et des écarts-types :Cov(X, Y) = ρ × σ_X × σ_Y = 0,5 × 20 × 30 = 300
2. Variance de la somme :Var(X + Y) = 400 + 900 + 2 × 300 = 1 900, réponse D

La même formule sert en Solvabilité 2 pour agréger des risques corrélés : voir l’exercice agréger deux SCR corrélés.

1. Paiement de l’assureur pour chaque montant de sinistre :500 € → 0 € 2 000 € → 1 000 € 10 000 € → 9 000 €
2. Paiement moyen par sinistre :0,6 × 0 + 0,3 × 1 000 + 0,1 × 9 000 = 1 200 €
3. Prime pure :0,08 × 1 200 = 96 €

Sans franchise, la prime pure vaudrait 8 % × 1 900 = 152 €. La franchise la fait baisser de 56 €, moins que 8 % × 1 000 = 80 € : sur un sinistre de 500 €, l’assureur n’économise que 500 €. Voir la franchise dans le lexique.

1. Paiement de l’assureur pour un sinistre X :max(X − 500, 0)
2. Absence de mémoire : sachant X > 500, l’excédent X − 500 suit encore une loi exponentielle de moyenne 1 000.E[max(X − 500, 0)] = P(X > 500) × 1 000 = e^−0,5 × 1 000 ≈ 606,53, réponse C

Par sinistre (per loss) ou par paiement (per payment) : c’est la distinction la plus testée des applications à l’assurance. Par sinistre, on compte aussi les sinistres qui ne coûtent rien à l’assureur. Voir la franchise dans le lexique.

1. Paiement : min(X, 600). Son espérance est l’intégrale de la fonction de survie jusqu’au plafond :∫₀⁶⁰⁰ (1 − x / 1 000) dx = 600 − 600² / 2 000 = 420
2. Vérification : 60 % des pertes sont sous 600, en moyenne 300 ; 40 % sont plafonnées à 600.0,6 × 300 + 0,4 × 600 = 420, réponse C

1. Variance totale d’une somme aléatoire :Var(S) = E[N] Var(X) + Var(N) E[X]²
2. Pour une loi de Poisson, Var(N) = E[N] = 2 :2 × 200² + 2 × 500² = 80 000 + 500 000 = 580 000, réponse D

Voir le modèle collectif dans le lexique.

1. Moyenne et écart-type de la somme S :E[S] = 100 × 500 = 50 000 σ_S = 1 000 × √100 = 10 000
2. Approximation normale :P(S > 70 000) ≈ P(Z > (70 000 − 50 000) / 10 000) = P(Z > 2) ≈ 0,0228, réponse B

1. Fonction de répartition :P(L ≤ 0) = 90 % P(L ≤ 100) = 96 % P(L ≤ 500) = 99 %
2. Premier seuil où l’on atteint 95 % :VaR_95 % = 100

1. La TVaR à 99,5 % est la moyenne des charges au moins égales à la VaR, ici les cinq pires années :(410 + 380 + 350 + 330 + 320) / 5 = 1 790 / 5 = 358 k€

La TVaR est toujours au moins égale à la VaR : elle tient compte de la gravité des pires années, pas seulement du seuil. Pour voir la queue se former, lancez le simulateur Monte Carlo.

1. Le logarithme conserve l’ordre : le quantile de X est l’exponentielle du quantile de ln X.
2. VaR = exp(10 + 2,5758 × 0,5) = exp(11,2879) ≈ 79 850 €

1. Erreur standard de la moyenne de n tirages indépendants :σ / √n = 900 / √10 000 = 9 k€
2. Pour une erreur de 3 k€ :900 / √n = 3 donc n = (900 / 3)² = 90 000

Gagner un chiffre de précision coûte cent fois plus de simulations. Pour une VaR extrême, c’est encore pire : elle ne repose que sur les quelques années de la queue.