Mode Apprentissage · Risque et Monte Carlo · 11 exercices · 36 min
De la perte moyenne à la VaR et à la TVaR, puis l’agrégation des risques et la précision d’une simulation.
Avant de commencer, mieux vaut connaître :
Une perte vaut 0 avec une probabilité de 90 %, 100 avec 6 %, 500 avec 3 % et 1 000 avec 1 %. Quelle est la perte moyenne ?
La perte moyenne sert à tarifer ; la VaR et la TVaR servent à dimensionner le capital.
Ce thème est approfondi dans le cours Probabilités pour l’actuariat, chapitre 4 : Espérance, variance et moments.
La perte annuelle L d’une activité vaut 0 avec une probabilité de 90 %, 100 avec 6 %, 500 avec 3 % et 1 000 avec 1 %.
Quelle est la VaR à 95 %, c’est-à-dire la plus petite perte x telle que P(L ≤ x) ≥ 95 % ?
Fonction de répartition.
Ce thème est approfondi dans le cours Probabilités pour l’actuariat, chapitre 9 : Mesures de risque. Leçon associée : le simulateur Monte Carlo.
La charge annuelle d’un portefeuille suit une loi normale d’espérance 1 000 k€ et d’écart-type 100 k€. Le quantile à 99,5 % de la loi normale centrée réduite vaut 2,5758.
Calculez la VaR à 99,5 % de la charge annuelle.
Le quantile d’une loi normale se déduit de celui de la loi centrée réduite.
Une charge réelle a souvent une queue plus épaisse qu’une loi normale : la simulation permet alors d’estimer la VaR sans formule. Voir le simulateur Monte Carlo.
Ce thème est approfondi dans le cours Probabilités pour l’actuariat, chapitre 3 : Mesurer les montants : les lois continues. Leçon associée : le simulateur Monte Carlo.
La charge annuelle X d’un portefeuille suit une loi lognormale : ln X suit une loi normale de moyenne 10 et d’écart-type 0,5. Le quantile à 99,5 % de la loi normale centrée réduite vaut 2,5758.
Calculez la VaR à 99,5 % de X, en euros.
Le logarithme conserve l’ordre : le quantile de X est l’exponentielle du quantile de ln X.
Ce thème est approfondi dans le cours Probabilités pour l’actuariat, chapitre 9 : Mesures de risque.
On a simulé 1 000 années de charge d’un portefeuille. Les cinq pires charges annuelles valent 410, 380, 350, 330 et 320 milliers d’euros, et la VaR à 99,5 % est estimée à 320 k€.
Estimez la TVaR à 99,5 %, c’est-à-dire la moyenne des charges au moins égales à la VaR.
La TVaR à 99,5 % est la moyenne des charges au moins égales à la VaR, ici les cinq pires années.
La TVaR est toujours au moins égale à la VaR : elle tient compte de la gravité des pires années, pas seulement du seuil. Pour voir la queue se former, lancez le simulateur Monte Carlo.
Ce thème est approfondi dans le cours Probabilités pour l’actuariat, chapitre 9 : Mesures de risque.
La perte annuelle L d’une activité suit une loi normale de moyenne 100 M€ et d’écart-type 20 M€. Pour une loi normale, la TVaR vaut :
TVaRα = μ + σ × φ(zα) / (1 − α)
où zα est le quantile de la loi normale centrée réduite et φ sa densité. Avec z99 % ≈ 2,3263 et φ(2,3263) ≈ 0,02665, calculez la TVaR à 99 %.
Pour comparaison, la VaR à 99 %.
L’écart entre TVaR et VaR mesure la gravité de la queue. Voir la TVaR dans le lexique.
Ce thème est approfondi dans le cours Probabilités pour l’actuariat, chapitre 9 : Mesures de risque. Leçon associée : le simulateur Monte Carlo.
Un assureur détient 50 M€ d’actions cotées dans l’Union européenne. La formule standard de Solvabilité 2 leur applique un choc de 39 %, hors ajustement symétrique. On suppose que la valeur des engagements ne dépend pas des actions.
Quel est le besoin en capital pour ce risque, avant tout effet de diversification ?
La perte dans le scénario de choc.
Le SCR est la baisse des fonds propres dans le choc. Si les engagements absorbent une partie de la perte, par exemple par la participation aux bénéfices, il est plus faible. L’ajustement symétrique fait varier le choc selon la position des marchés dans le cycle. Voir le SCR dans le lexique.
Ce thème est approfondi dans le cours Probabilités pour l’actuariat.
Un assureur a calculé deux capitaux de solvabilité séparés : 100 M€ pour le risque de marché et 60 M€ pour le risque de souscription. La formule standard de Solvabilité 2 agrège les modules de risque avec des coefficients de corrélation ; prenez ici ρ = 0,25 :
SCR = √(SCR1² + SCR2² + 2 × ρ × SCR1 × SCR2)
Quel est le SCR agrégé ?
C’est la formule de la variance d’une somme, appliquée à des capitaux : voir la variance d’une somme et le SCR dans le lexique.
Ce thème est approfondi dans le cours Probabilités pour l’actuariat, chapitre 9 : Mesures de risque.
Deux activités indépendantes ont chacune une perte annuelle normale d’écart-type 100. On mesure le capital de chacune par 2,5758 écarts-types.
Quel capital économise-t-on en mesurant le risque des deux activités ensemble plutôt que séparément ?
Ce thème est approfondi dans le cours Probabilités pour l’actuariat, chapitre 9 : Mesures de risque.
On estime le prix d’une option par Monte Carlo avec 10 000 simulations. L’écart-type des paiements actualisés vaut 15 €.
Quelle est la demi-largeur de l’intervalle de confiance à 95 % ?
Ce thème est approfondi dans le cours Modèles de taux et de volatilité, chapitre 9 : Monte Carlo pour ces modèles.
Une simulation Monte Carlo de 10 000 années estime la charge annuelle moyenne d’un portefeuille à 210 k€. L’écart-type des 10 000 charges simulées vaut 900 k€.
Erreur standard de la moyenne de n tirages indépendants.
Gagner un chiffre de précision coûte cent fois plus de simulations. Pour une VaR extrême, c’est encore pire : elle ne repose que sur les quelques années de la queue.
Ce thème est approfondi dans le cours Probabilités pour l’actuariat, chapitre 10 : La simulation Monte Carlo. Leçon associée : le simulateur Monte Carlo.
Parcours suivant : Réassurance : traités proportionnels et non proportionnels.