Produits dérivés : du forward à Black-Scholes

1. Prix new-yorkais en euros :79,50 / 1,08 = 73,6111 €L’action est moins chère à Paris : on l’achète à Paris et on la revend à New York.
2. Gain brut, puis frais sur les deux jambes :(73,6111 − 72) × 1 000 = 1 611,11 €0,10 % × (72 + 73,6111) × 1 000 = 145,61 €
3. Gain net :1 611,11 − 145,61 = 1 465,50 €

L’écart de prix, 2,2 %, dépasse largement les frais d’un aller-retour, 0,2 % : l’arbitrage est rentable. En achetant à Paris et en vendant à New York, les arbitragistes rapprochent les deux prix jusqu’à ce que l’écart ne couvre plus les frais. On néglige ici le coût du change et le décalage de règlement entre les deux places.

1. Sans dividende, détenir l’action ou un contrat à terme doit coûter la même chose : sinon, il existe un arbitrage.
2. Prix à terme :F = S₀ × e^rT = 100 × e^0,03 = 103,05 €

1. On retire du prix au comptant la valeur actuelle du dividende, que l’acheteur à terme ne touchera pas :50 − 1 × e^{−0,04 × 0,5} = 50 − 0,9802 = 49,0198 €
2. On capitalise sur un an :49,0198 × e^0,04 = 51,02 €

1. Ratio de couverture optimal :h* = ρ × σ_S / σ_F = 0,9 × 2 % / 2,5 % = 0,72
2. Nombre de contrats :0,72 × 2 000 000 / 250 000 = 5,76, soit 6 contrats

1. Valeur d’un contrat :128,50 % × 100 000 = 128 500 €
2. Sensibilité à retirer, en duration multipliée par le montant :25 000 000 × (7,2 − 4) = 80 000 000
3. Chaque contrat vendu en retire 128 500 × 8,2 :N = 80 000 000 / (128 500 × 8,2) = 75,92, soit 76 contrats

Avec 76 contrats vendus, la duration du portefeuille couvert vaut (25 M€ × 7,2 − 76 × 128 500 × 8,2) / 25 M€ ≈ 4,00. En vendre 25 M€ × 7,2 / (128 500 × 8,2) = 170,8, soit 171, annulerait toute la sensibilité aux taux. Le facteur de concordance disparaît du calcul : si le future vaut le prix de l’obligation divisé par un facteur fixe, il varie en pourcentage comme elle, donc de 8,2 % par point de taux. Sans ces hypothèses, il faudrait suivre la base et un éventuel changement de l’obligation la moins chère à livrer ; et, même avec elles, la couverture se réajuste quand les taux bougent, car les durations changent.

1. La jambe variable vaut 1 − P(0, 3) par euro de nominal. La jambe fixe vaut s × (P(0, 1) + P(0, 2) + P(0, 3)).
2. Taux qui égalise les deux jambes :s = (1 − 0,91) / (0,97 + 0,94 + 0,91) = 0,09 / 2,82 = 3,19 %

1. Valeur de la jambe fixe reçue :10 × 4 % × (0,97 + 0,94 + 0,91) = 1,128 M€
2. Valeur de la jambe variable payée :10 × (1 − 0,91) = 0,9 M€
3. Valeur du swap pour la banque :1,128 − 0,9 = 0,228 M€

Autre lecture : la banque reçoit 4 % au lieu du taux de swap de 3,19 %, soit 0,81 % de plus par an, actualisés : 10 × 0,81 % × 2,82 ≈ 0,228 M€.

1. Parité call-put :C − P = S₀ − K e^−rT
2. Donc :P = 8 − 100 + 100 × e^−0,02 = 8 − 100 + 98,02 = 6,02 €

1. Moyenne des cours constatés :(104 + 98 + 110) / 3 = 104 €
2. Paiement :max(104 − 100, 0) = 4 €Le call européen paierait 110 − 100 = 10 €.

Parce que la moyenne varie moins qu’un cours isolé, une option asiatique coûte moins cher que l’option européenne correspondante. Son prix n’a pas de formule fermée dans le cas arithmétique : on le calcule par Monte Carlo.

1. Probabilité risque-neutre de hausse :q = (1 + r − d) / (u − d) = (1,05 − 0,9) / (1,2 − 0,9) = 0,5
2. Paiements : 20 € en cas de hausse, 0 en cas de baisse.C = (0,5 × 20 + 0,5 × 0) / 1,05 = 9,52 €

1. Probabilité risque-neutre :q = (1,02 − 0,9) / (1,1 − 0,9) = 0,6
2. À l’échéance : 121 € (put 0), 99 € (put 1), 81 € (put 19).
3. Nœud haut (110 €) : continuation (0,6 × 0 + 0,4 × 1) / 1,02 = 0,39 €, exercice 0 : on garde 0,39 €.
4. Nœud bas (90 €) : continuation (0,6 × 1 + 0,4 × 19) / 1,02 = 8,04 €, exercice 10 € : on exerce.
5. Origine :(0,6 × 0,39 + 0,4 × 10) / 1,02 = 4,15 €

Le put européen vaut 3,38 € : le droit d’exercer avant l’échéance vaut ici 0,77 €.

1. Acheter le cap et vendre le floor revient à payer 3,4 % et à recevoir le taux variable sur les deux périodes : c’est un swap payeur qui démarre dans un an. Donc cap − floor = swap payeur.
2. Jambe variable reçue :10 M€ × (0,97 − 0,91) = 600 000 €
3. Jambe fixe payée :10 M€ × 3,4 % × (0,94 + 0,91) = 629 000 €
4. Valeur du swap payeur, négative car on paie plus que le taux forward :600 000 − 629 000 = −29 000 €
5. Parité :floor = cap − swap payeur = 45 868 − (−29 000) = 74 868 €

Le floor vaut plus que le cap, car 3,4 % dépasse le taux de swap forward, 0,06 / 1,85 = 3,24 % : les floorlets sont dans la monnaie, les caplets en dehors. À 3,24 %, le swap vaut zéro, et cap et floor ont la même valeur. Le modèle de Black, appliqué aux floorlets, donne aussi 74 868 € : la parité retrouve ce prix sans utiliser la volatilité.

1. d₁ et d₂ :d₁ = (ln(100/100) + (0,03 + 0,2²/2) × 1) / 0,2 = 0,25 et d₂ = d₁ − 0,2 = 0,05
2. Formule de Black-Scholes :C = S N(d₁) − K e^−rT N(d₂) = 59,87 − 97,04 × 0,5199 = 59,87 − 50,45 ≈ 9,42 €, soit 9,41 € avec les valeurs non arrondies de N(d₁) et N(d₂)

1. Le delta d’un call européen sans dividende vaut N(d₁) = 0,5987.
2. Position à couvrir :1 000 × 0,5987 = 598,7 actions, soit environ 599

La couverture doit être réajustée quand le cours bouge, car le delta change : c’est le rôle du gamma.