FRM Partie I : fondations, marchés, portefeuille, mesures de risque

1. Probabilité d’être signalée, par la formule des probabilités totales :P(A) = 0,04 × 0,9 + 0,96 × 0,1 = 0,036 + 0,096 = 0,132
2. Formule de Bayes :P(D | A) = 0,036 / 0,132 ≈ 0,273, réponse B

Le modèle repère 90 % des défauts, et pourtant près de trois alertes sur quatre sont fausses : les défauts sont rares, donc les fausses alertes sur les entreprises saines pèsent lourd.

1. Statistique de test :t = (β̂ − 1) / SE(β̂) = (1,20 − 1) / 0,15 = 1,33
2. Avec 58 degrés de liberté, la valeur critique bilatérale à 5 % vaut environ 2,00 : on ne rejette pas l’hypothèse β = 1.

1. Parité des taux d’intérêt couverte, avec un cours exprimé en dollars par euro :F = S × e^{(r_USD − r_EUR) T}
2. Ici :1,10 × e^0,02 = 1,10 × 1,0202 = 1,1222

Sinon, il y aurait un arbitrage : emprunter dans une devise, placer dans l’autre et fixer le change à terme rapporterait un gain sans risque.

1. Perte du jour :(4 000 − 3 920) × 50 × 10 = 40 000 dollars
2. Solde du compte de marge :150 000 − 40 000 = 110 000 < 120 000
3. Le trader doit revenir à la marge initiale :150 000 − 110 000 = 40 000 dollars

1. Variation de prix ≈ − duration modifiée × valeur × variation de taux.
2. DV01 :6,5 × 9 800 000 × 0,0001 = 6 370 €

1. Approximation au second ordre :ΔP/P ≈ −D_mod × Δy + ½ × C × Δy²
2. Ici :−7,2 × 0,01 + 0,5 × 64 × 0,0001 = −0,072 + 0,0032 = −6,88 %

1. CAPM :E[R] = r_f + β (E[R_M] − r_f) = 3 % + 1,2 × 5 % = 9 %

1. Ratio de Sharpe :(R − r_f) / σ = (12 % − 3 %) / 18 % = 0,5

1. Rendement exigé selon le CAPM :3 % + 1,2 × (8 % − 3 %) = 9 %
2. Alpha de Jensen :11 % − 9 % = 2 %Le gérant a battu de 2 points le rendement qu’on pouvait attendre de son risque de marché.

1. Variance du portefeuille :σ_P² = w_A² σ_A² + w_B² σ_B² + 2 w_A w_B ρ σ_A σ_B= 0,0144 + 0,0016 + 0,00288 = 0,01888
2. Volatilité :√0,01888 = 13,74 %

Avec une corrélation inférieure à 1, le portefeuille est moins volatil que la moyenne de ses composantes : c’est tout l’intérêt de la diversification.

1. Quantile de la loi normale à 99 % : z = 2,326.
2. VaR :2,326 × 1,2 % × 10 M€ = 0,279 M€

1. Si les rendements quotidiens sont indépendants, la volatilité croît comme la racine du temps.
2. VaR à dix jours :0,2792 × √10 = 0,883 M€

1. Pour des lois normales, les VaR se combinent comme des écarts-types :VaR_P = √(VaR₁² + VaR₂² + 2 ρ VaR₁ VaR₂)
2. Ici :√(9 + 16 + 12) = √37 = 6,08 M$L’effet de diversification vaut 7 − 6,08 = 0,92 M$.

1. Mise à jour de la variance :σ_t² = λ σ_t−1² + (1 − λ) r_t−1² = 0,94 × 0,000225 + 0,06 × 0,0009 = 0,0002655
2. Volatilité :√0,0002655 = 1,63 %

1. Une mesure cohérente est monotone, sous-additive, homogène et invariante par translation.
2. La VaR n’est pas toujours sous-additive : diversifier peut, en théorie, l’augmenter. L’écart-type et la variance ne sont pas monotones. L’expected shortfall vérifie les quatre propriétés.

1. Pour une loi normale, ES_α = σ × φ(z_α) / (1 − α), avec z_97,5 % = 1,96 et φ(1,96) = 0,0584.
2. ES :0,1 M€ × 0,0584 / 0,025 = 0,234 M€

L’expected shortfall à 97,5 % est proche de la VaR à 99 % : c’est pourquoi les régulateurs bancaires l’ont retenu pour remplacer la VaR.