Modèles de taux et de volatilité

Les zéro-coupons à 1 et 2 ans valent 0,97 et 0,94.

Quel est le taux forward annuel entre 1 et 2 ans ?

Les prix des zéro-coupons à 1, 2 et 3 ans valent 0,97, 0,94 et 0,91. La même courbe sert à projeter le taux variable et à actualiser.

Quel est le taux fixe d’un swap de taux à 3 ans, à paiements annuels, qui vaut zéro aujourd’hui ?

Parmi ces modèles de taux court, lequel peut produire des taux négatifs ?

Le taux court suit le modèle de Vasicek dr = 0,5 (3 % − r) dt + 1 % dW, avec r₀ = 1 %.

Quelle est l’espérance du taux court dans deux ans ?

Dans le modèle CIR dr = 0,3 (4 % − r) dt + σ √r dW, la condition de Feller garantit que le taux reste strictement positif.

Quelle est la plus grande volatilité σ qui la respecte ?

Dans le modèle de Heston, la variance suit dv = 2 (0,09 − v) dt + ξ √v dW, avec v₀ = 0,04.

Quelle volatilité correspond à l’espérance de la variance dans un an ?

Dans le modèle à sauts de Merton, sous la probabilité risque-neutre, les sauts arrivent en moyenne 0,5 fois par an et font varier le cours de −10 % en moyenne. Le taux sans risque est de 3 %.

Quelle dérive faut-il donner à la partie continue du cours ?

On estime le prix d’une option par Monte Carlo avec 10 000 simulations. L’écart-type des paiements actualisés vaut 15 €.

Quelle est la demi-largeur de l’intervalle de confiance à 95 % ?

Quatre scénarios économiques également probables donnent une NBV de 900, 700, 400 et −200 k€. Le scénario central donne 650 k€.

Quel est le coût des options et garanties (TVOG) ?

Le taux court suit le modèle de Vasicek dr = a (b − r) dt + σ dW, avec a = 0,5, b = 3 %, σ = 1 % et r₀ = 1 %. Dans deux ans, le taux court suit une loi normale d’espérance r₀ e^−at + b (1 − e^−at) ≈ 2,264 % et de variance σ² (1 − e^−2at) / (2a).

Quelle est la probabilité que le taux court soit négatif dans deux ans ?