Exam FM : taux, rentes, obligations

1. Le prêt est remboursé par 10 annuités constantes payées en fin d’année :10 000 = P × a₁₀ à 5 %
2. Valeur actuelle d’une annuité de 1 sur 10 ans :a₁₀ = (1 − 1,05⁻¹⁰) / 0,05 ≈ 7,7217
3. Annuité :P = 10 000 / 7,7217 ≈ 1 295,05, réponse B
4. À la BA II Plus :N = 10, I/Y = 5, PV = 10 000, FV = 0, CPT PMT → −1 295,05

Le piège : la réponse A correspond à des paiements en début d’année. Notation : rente certaine dans le lexique.

1. Avec des dépôts en fin d’année, on aurait une rente à terme échu :1 000 × s₁₀ = 1 000 × (1,04¹⁰ − 1) / 0,04 ≈ 12 006,11
2. Les dépôts ont lieu en début d’année : chacun capitalise un an de plus.12 006,11 × 1,04 ≈ 12 486,35, réponse D
3. À la BA II Plus, en mode BGN :N = 10, I/Y = 4, PV = 0, PMT = −1 000, CPT FV → 12 486,35

Notation : valeur acquise d’une rente dans le lexique.

1. Taux mensuel 0,5 %, 60 mensualités :PMT = 20 000 / a₆₀ à 0,5 % ≈ 386,66
2. Capital restant dû après 12 mensualités, par la méthode prospective, en gardant la mensualité non arrondie :B₁₂ = PMT × a₄₈ à 0,5 % ≈ 16 463,94
3. Intérêts de la 13e mensualité :0,005 × 16 463,94 ≈ 82,32, réponse A
4. À la BA II Plus : touche AMORT, P1 = 13, P2 = 13, puis lire INT.

1. Solde au début de chaque mois :12 000, 11 000, …, 1 000
2. Intérêts totaux :1 % × (12 000 + 11 000 + … + 1 000) = 1 % × 78 000 = 780, réponse C

Avec un amortissement constant, les mensualités baissent : 1 120 le premier mois, 1 010 le dernier.

1. Taux d’intérêt effectif annuel :1 + i = (1 + 0,06 / 12)¹² = 1,005¹² ≈ 1,061678
2. Taux d’escompte effectif :d = i / (1 + i) = 0,061678 / 1,061678 ≈ 5,81 %, réponse B
3. À la BA II Plus, avec la fonction ICONV :NOM = 6, C/Y = 12, CPT EFF → 6,1678

Voir le taux d’escompte et le taux nominal dans le lexique.

1. Avec une force d’intérêt variable, le facteur d’accumulation vaut :a(4) = exp(∫₀⁴ 0,01t dt) = exp(0,01 × 4² / 2) = e^0,08
2. Valeur acquise :1 000 × e^0,08 ≈ 1 083,29, réponse C

Voir la force d’intérêt dans le lexique.

1. Équation de valeur, avec v = 1 / (1 + i) :1 000 = 300 v + 800 v²
2. Racine positive de 800 v² + 300 v − 1 000 = 0 :v = (−300 + √(300² + 4 × 800 × 1 000)) / 1 600 ≈ 0,94615
3. Taux de rendement :i = 1 / 0,94615 − 1 ≈ 5,69 %, réponse C
4. À la BA II Plus :CF0 = −1 000, C01 = 300, C02 = 800, IRR CPT → 5,69

1. Valeur actuelle d’une perpétuité de premier paiement P, en fin d’année, croissant au taux g, avec i > g :VA = P / (i − g)
2. Application :100 / (0,07 − 0,03) = 2 500, réponse C

La formule n’a de sens que si i > g : sinon, la somme des paiements actualisés diverge.

1. Rente croissante à terme échu :(Ia)₁₀ = (ä₁₀ − 10 v¹⁰) / i
2. À 5 % :ä₁₀ ≈ 8,1078 10 v¹⁰ ≈ 6,1391 (Ia)₁₀ ≈ (8,1078 − 6,1391) / 0,05 ≈ 39,3738
3. Valeur actuelle :100 × 39,3738 ≈ 3 937,38, réponse A
4. À la BA II Plus, avec la touche CF : CF0 = 0, puis C01 = 100, C02 = 200, …, C10 = 1 000, et NPV avec I = 5.

1. Coupon annuel : 6 % × 1 000 = 60. Prix au rendement de 5 % :P = 60 × a₁₀ + 1 000 × v¹⁰ = 60 × 7,7217 + 613,91 ≈ 1 077,22, réponse C
2. À la BA II Plus :N = 10, I/Y = 5, PMT = 60, FV = 1 000, CPT PV → −1 077,22

Coupon supérieur au rendement : l’obligation cote au-dessus du pair (premium bond). Voir le prix d’une obligation dans le lexique.

1. Prix d’achat :P = 80 × a₁₀ + 1 000 × v¹⁰ à 6 % ≈ 1 147,20
2. Juste après le 4^e coupon, il reste 6 coupons et le remboursement. La valeur comptable est la valeur actuelle de ces flux, au taux de rendement d’origine :80 × a₆ + 1 000 × v⁶ à 6 % ≈ 1 098,35, réponse C
3. À la BA II Plus :N = 6, I/Y = 6, PMT = 80, FV = 1 000, CPT PV → −1 098,35

À chaque coupon, une partie amortit la prime : 80 − 6 % × 1 098,35 ≈ 14,10 au 5^e coupon. L’amortissement croît d’année en année.

1. Chaque flux s’actualise au taux au comptant de son échéance :P = 5 / 1,03 + 5 / 1,04² + 105 / 1,045³
2. P ≈ 4,8544 + 4,6228 + 92,0112 ≈ 101,49, réponse B

Au passage, le taux à terme entre 2 et 3 ans vaut 1,045³ / 1,04² − 1 ≈ 5,51 %.

1. Le coupon, 6 %, dépasse le rendement visé, 5 % : l’obligation cote au-dessus du pair, et chaque remboursement anticipé fait perdre à l’investisseur une partie de la prime.
2. Prix à chaque date de remboursement possible :5 ans : 1 043,29 6 ans : 1 050,76 … 10 ans : 1 077,22
3. Pour être garanti, l’investisseur paie le plus petit de ces prix :60 × a₅ + 1 000 × v⁵ à 5 % ≈ 1 043,29, réponse B

Règle pratique : au-dessus du pair, la date la plus proche est la plus défavorable ; sous le pair, c’est la plus lointaine. Dans tous les cas, on retient le prix le plus bas.

1. Valeur actuelle du passif :10 000 / 1,06⁴ ≈ 7 920,94
2. On égalise valeurs actuelles et durations. Avec A et B, les montants investis à 2 et à 6 ans :A + B = 7 920,94 et (2A + 6B) / 7 920,94 = 4
3. D’où A = B ≈ 3 960,47. Nominal du zéro-coupon à 6 ans :3 960,47 × 1,06⁶ ≈ 5 618,00, réponse D

Vérification : à 5 % comme à 7 %, l’actif vaut un peu plus que le passif. Un flux d’actif avant le passif, un après, avec valeurs actuelles et durations égales : c’est l’immunisation complète. Voir la leçon sur la duration.