Les 83 symboles de l’actuariat et des marchés, expliqués simplement : la notation de l’assurance vie, les taux, les obligations, les produits dérivés, le calcul stochastique, les modèles de taux et de volatilité, la tarification, le provisionnement, la réassurance et la gestion des risques.
La notation actuarielle internationale : x désigne l’âge de l’assuré, n une durée, v le facteur d’actualisation.
lx
Dans une table de mortalité, nombre de personnes encore en vie à l’âge x, sur une génération fictive. On note dx les décès entre x et x + 1.
dx = lx − lx+1
Exemple : l60 = 90 000 et l61 = 89 100 : 900 décès dans l’année.
Voir aussi :Exercice : un capital différéCours : Actuariat vie
qx
Probabilité qu’une personne d’âge x décède avant son prochain anniversaire.
qx = dx / lx
Exemple : q60 = 900 / 90 000 = 1 %.
Voir aussi :Cours : Actuariat vie
px
Probabilité qu’une personne d’âge x soit encore en vie un an plus tard.
px = 1 − qx = lx+1 / lx
Exemple : p60 = 89 100 / 90 000 = 0,99.
Voir aussi :Exercice : un capital différéCours : Actuariat vie
tpx
Probabilité qu’une personne d’âge x soit encore en vie dans t ans.
tpx = lx+t / lx
Voir aussi :Cours : Actuariat vie
nEx
Valeur actuelle probable de 1 € versé dans n ans, seulement si l’assuré est encore en vie.
nEx = vn · npx
Exemple : À 2 % : 1E60 = 0,99 / 1,02 ≈ 0,9706.
Voir aussi :Exercice : un capital différéCours : Actuariat vie
Ax
Valeur actuelle probable de 1 € versé à la fin de l’année du décès, quelle que soit sa date.
Ax = Σk≥0 vk+1 · kpx · qx+k
Voir aussi :Cours : Actuariat vie
A1x:n
Valeur actuelle probable de 1 € versé à la fin de l’année du décès, si celui-ci survient dans les n ans.
A1x:n = Σn−1k=0 vk+1 · kpx · qx+k
Exemple : Sur un an, capital de 100 000 €, qx = 0,2 %, taux 1 % : 100 000 × 0,002 / 1,01 ≈ 198,02 €.
Voir aussi :Leçon : la prime pureCours : Actuariat vie
äx
Valeur actuelle probable d’une rente de 1 € par an, versée en début d’année tant que l’assuré est en vie.
äx = Σk≥0 vk · kpx
Voir aussi :Cours : Actuariat vie
ax
La même rente, versée en fin d’année : on perd le paiement immédiat.
ax = äx − 1
Voir aussi :Cours : Actuariat vie
Px
Prime pure annuelle constante, payée d’avance, d’une assurance vie entière. L’équivalence actuarielle égalise la valeur des primes et celle des prestations.
Px = Ax / äx
Voir aussi :Cours : Actuariat vie
tVx
Ce que l’assureur doit mettre de côté à la date t : la valeur de ses engagements futurs moins celle des primes qu’il recevra encore.
tVx = Ax+t − Px · äx+t
Voir aussi :Cours : Actuariat vie
€ · UC
Les deux supports de l’assurance vie. Sur le fonds en euros, l’assureur garantit le capital ; en unités de compte, l’épargne suit les marchés, à la hausse comme à la baisse.
Voir aussi :Lectures sur l’ALM du fonds en eurosCours : Tarification vie
PB
Part des résultats financiers et techniques que l’assureur reverse aux épargnants du fonds en euros. Son pilotage est au cœur de la gestion actif-passif (ALM).
Voir aussi :Lectures sur l’ALM du fonds en eurosCours : Tarification vie
APE
Mesure du volume d’affaires nouvelles : les primes annuelles, plus 10 % des primes uniques et des transferts.
APE = primes annuelles + 10 % × primes uniques
Exemple : 0,8 M€ de cotisations et 5 M€ transférés : APE = 1,3 M€.
Voir aussi :Cours : Tarification vie
NBV
Valeur créée par une affaire nouvelle : la valeur actuelle de ses résultats futurs, coûts d’acquisition compris.
Marge NBV = NBV / APE
Voir aussi :Cours : Tarification vie
TVOG
Ce que coûtent les garanties d’un contrat, comme la garantie en capital d’un fonds en euros : l’écart entre la valeur du scénario central et la valeur moyenne sur de nombreux scénarios.
TVOG = NBVcentrale − NBVstochastique
Voir aussi :Cours : Tarification vie
Les briques des mathématiques financières, de l’actualisation aux rentes.
i
Taux annuel auquel 1 € placé aujourd’hui fructifie, intérêts composés.
1 € aujourd’hui vaut (1 + i)n € dans n ans
Exemple : À 5 %, 1 000 € deviennent 1 000 × 1,0510 ≈ 1 628,89 € en 10 ans.
Voir aussi :Cours : Mathématiques financièresCours : Exam FM
v
Valeur aujourd’hui de 1 € payé dans un an.
v = 1 / (1 + i)
Exemple : À 2 %, v = 1 / 1,02 ≈ 0,9804.
Voir aussi :Cours : Mathématiques financièresCours : Exam FM
d
Intérêt payé d’avance, en début de période plutôt qu’en fin.
d = i / (1 + i) = 1 − v
Exemple : À 5 %, d = 0,05 / 1,05 ≈ 4,76 %.
Voir aussi :Cours : Mathématiques financièresCours : Exam FM
i(m)
Taux annuel convertible m fois par an : on applique i(m) / m à chaque période.
(1 + i(m) / m)m = 1 + i
Exemple : 12 % convertible mensuellement : 1,0112 − 1 ≈ 12,68 % effectif.
Voir aussi :Cours : Mathématiques financièresCours : Exam FM
δ
Taux d’intérêt instantané, en temps continu.
δ = ln(1 + i)
Exemple : À 5 %, δ = ln 1,05 ≈ 4,88 %.
Voir aussi :Cours : Mathématiques financièresCours : Exam FM
an
Valeur actuelle de n paiements de 1 €, versés en fin de période.
an = (1 − vn) / i
Exemple : a10 à 5 % ≈ 7,7217.
Voir aussi :Exercice : l’annuité d’un prêtCours : Mathématiques financièresCours : Exam FM
än
Les mêmes n paiements, versés en début de période.
än = (1 + i) · an
Exemple : ä10 à 5 % ≈ 8,1078.
Voir aussi :Cours : Mathématiques financièresCours : Exam FM
sn
Valeur, à la date du dernier paiement, de n paiements de 1 €.
sn = ((1 + i)n − 1) / i
Exemple : s10 à 5 % ≈ 12,5779.
Voir aussi :Cours : Mathématiques financièresCours : Exam FM
Prix, rendement et sensibilité : ce que regardent les gérants de taux.
P
Valeur actuelle des coupons et du remboursement, au taux de rendement du marché.
P = C · an + R · vn
Exemple : Coupon 5, remboursement 100, 2 ans, taux 5 % : P = 5 / 1,05 + 105 / 1,052 = 100.
Voir aussi :Exercice : la duration d’une obligationCours : Mathématiques financièresCours : Exam FM
y
Le taux unique qui égalise le prix de l’obligation et la valeur actuelle de ses flux. En anglais : yield to maturity (YTM).
P = Σt Ft · (1 + y)−t
Voir aussi :Cours : Exam FM
D
Durée de vie moyenne des flux, chaque date étant pondérée par la valeur actuelle de son flux.
D = Σt t · Ft · vt / P
Exemple : Obligation à 2 ans, coupon 5 %, taux 5 % : D ≈ 1,9524 an.
Voir aussi :Exercice : la duration d’une obligationCours : Mathématiques financièresCours : Exam FM
Dmod
Sensibilité du prix aux taux : de combien de pour cent le prix baisse quand le taux monte d’un point.
Dmod = D / (1 + y)
ΔP / P ≈ −Dmod · Δy
Exemple : 1,9524 / 1,05 ≈ 1,8594 : environ −1,86 % de prix pour +1 point de taux.
Voir aussi :Exercice : la duration d’une obligationCours : Mathématiques financièresCours : Exam FMCours : FRM Partie I
C
Courbure de la relation entre prix et taux. Elle corrige l’approximation par la duration quand les taux bougent beaucoup.
ΔP / P ≈ −Dmod · Δy + ½ · C · (Δy)2
Voir aussi :Cours : Mathématiques financièresCours : Exam FM
pb
Un point de base vaut 0,01 %. Le spread est l’écart de rendement entre deux obligations, exprimé en points de base.
1 pb = 0,01 %
Exemple : Un taux qui passe de 3,00 % à 3,25 % monte de 25 pb.
OAT
Les obligations d’État française (obligations assimilables du Trésor) et allemande. Leurs taux à 10 ans servent de référence pour les taux longs de la zone euro.
€STR
Les taux courts de la zone euro : l’€STR, taux au jour le jour publié par la BCE, et l’Euribor, taux auquel les banques se prêtent, d’une semaine à douze mois.
DV01
Variation de valeur d’une position quand les taux bougent d’un point de base.
DV01 = Dmod × valeur × 0,0001
Exemple : Duration modifiée 6,5 et valeur 9,8 M€ : DV01 = 6 370 €.
Voir aussi :Cours : FRM Partie I
Options et grecques : le vocabulaire des salles de marché.
S0 · K · T
S0 est le cours actuel du sous-jacent, K le prix d’exercice et T l’échéance.
Call · Put
Le droit, et non l’obligation, d’acheter (call) ou de vendre (put) le sous-jacent au prix K à l’échéance.
Call : max(ST − K, 0)
Put : max(K − ST, 0)
Exemple : K = 100 et ST = 112 : le call paie 12, le put ne paie rien.
Voir aussi :Cours : Produits dérivés
C − P
Relation entre un call et un put européens de même prix d’exercice et de même échéance, sur un sous-jacent sans dividende.
C − P = S0 − K · e−rT
Voir aussi :Cours : Produits dérivés
σ
Écart-type annualisé des rendements du sous-jacent. C’est le paramètre clé du prix d’une option.
σannuelle ≈ σquotidienne · √252
Voir aussi :Cours : Modèles de taux et de volatilité
Δ
Sensibilité du prix de l’option au cours du sous-jacent.
Δ = ∂V / ∂S
Exemple : Un call de delta 0,5 gagne environ 0,50 € quand le sous-jacent prend 1 €.
Voir aussi :Cours : Produits dérivés
Γ
Vitesse à laquelle le delta varie quand le sous-jacent bouge.
Γ = ∂2V / ∂S2
Voir aussi :Cours : Produits dérivés
ν
Sensibilité du prix de l’option à la volatilité.
ν = ∂V / ∂σ
Θ
Effet du passage du temps sur le prix de l’option.
Θ = ∂V / ∂t
ρ
Sensibilité du prix de l’option au taux sans risque.
ρ = ∂V / ∂r
F0
Accord d’acheter ou de vendre un actif à une date future, à un prix fixé aujourd’hui. Il se négocie de gré à gré.
F0 = S0 erT, sans dividende
Exemple : S0 = 100, r = 3 %, T = 1 : F0 = 103,05.
Voir aussi :Cours : Produits dérivés
Future
Contrat à terme standardisé, négocié sur un marché organisé, avec des appels de marge quotidiens versés à une chambre de compensation.
Voir aussi :Cours : Produits dérivés
IRS
Échange, sur un nominal, d’un taux fixe contre un taux variable pendant une durée donnée. Le taux fixe qui annule la valeur du swap est le taux de swap.
s = (1 − P(0, T)) / Σ P(0, ti)
Voir aussi :Cours : Produits dérivés
Swaption
Option d’entrer dans un swap de taux à une date future, à un taux fixé d’avance. Les banques la valorisent souvent avec le modèle de Black.
Voir aussi :Cours : Produits dérivés
Américaine
Option qui peut être exercée à tout moment jusqu’à l’échéance. Elle vaut au moins autant que l’option européenne correspondante.
Voir aussi :Cours : Produits dérivés
Asiatique
Option dont le paiement dépend de la moyenne des cours sur une période. Elle coûte moins cher que l’option européenne, car une moyenne varie moins qu’un cours isolé.
max(moyenne − K, 0)
Voir aussi :Cours : Produits dérivés
u · d
À chaque période, le cours monte d’un facteur u ou baisse d’un facteur d. On évalue une option en remontant l’arbre avec la probabilité risque-neutre.
q = (1 + r − d) / (u − d)
Voir aussi :Cours : Produits dérivés
N(d1)
Prix d’un call européen quand le cours suit un mouvement brownien géométrique.
C = S N(d1) − K e−rT N(d2)
Exemple : S = K = 100, r = 3 %, σ = 20 %, T = 1 : C = 9,41.
Voir aussi :Cours : Produits dérivés
Les outils mathématiques des modèles de marché, du mouvement brownien à la probabilité risque-neutre.
Wt
Processus aléatoire continu, qui part de 0, à accroissements indépendants et gaussiens : Wt − Ws suit une loi normale de variance t − s.
Wt ~ N(0, t)
Voir aussi :Cours : Calcul stochastique
E[Xt | Fs] = Xs
Processus dont la meilleure prévision de la valeur future est sa valeur présente : un jeu équitable.
Exemple : Wt et Wt² − t sont des martingales ; Wt² n’en est pas une.
Voir aussi :Cours : Calcul stochastique
df(Xt)
Règle de calcul différentiel pour une fonction d’un processus aléatoire : elle ajoute un terme du second ordre, absent du calcul classique.
df = f′(X) dX + ½ f″(X) (dX)², avec (dW)² = dt
Voir aussi :Cours : Calcul stochastique
dS = μS dt + σS dW
Le modèle de cours de Black-Scholes : le rendement instantané a une dérive μ et une volatilité σ, et le cours suit une loi lognormale.
St = S0 exp((μ − σ²/2) t + σ Wt)
Voir aussi :Cours : Calcul stochastique
AOA
Hypothèse selon laquelle on ne peut pas gagner d’argent sans risque et sans mise de départ. Elle suffit à fixer le prix des produits réplicables.
Voir aussi :Cours : Calcul stochastique
Q
Probabilité sous laquelle les prix actualisés des actifs sont des martingales. Le prix d’un produit dérivé y est l’espérance de son paiement actualisé.
V0 = EQ[e−rT VT]
Voir aussi :Cours : Calcul stochastique
Les modèles qui font bouger taux et volatilités dans les salles de marché et les générateurs de scénarios.
dr = a(b − r) dt + σ dW
Modèle de taux court à retour à la moyenne : le taux est attiré vers b à la vitesse a. Il est gaussien, donc il peut devenir négatif.
Voir aussi :Cours : Modèles de taux et de volatilité
σ √r dW
Modèle de Cox, Ingersoll et Ross : comme Vasicek, avec une volatilité proportionnelle à √r, qui maintient le taux positif.
Condition de Feller : 2ab ≥ σ²
Voir aussi :Cours : Modèles de taux et de volatilité
θ(t)
Un Vasicek dont la moyenne de long terme dépend du temps, choisie pour reproduire exactement la courbe des taux du jour.
Voir aussi :Cours : Modèles de taux et de volatilité
dv = κ(θ − v) dt + ξ √v dW
Modèle à volatilité stochastique : la variance du cours suit sa propre dynamique, corrélée au cours. Il reproduit le smile de volatilité.
Voir aussi :Cours : Modèles de taux et de volatilité
λ · k
Un brownien géométrique auquel s’ajoutent des sauts qui arrivent au hasard. Il rend compte des krachs et des queues épaisses des rendements.
Voir aussi :Cours : Modèles de taux et de volatilité
Du modèle collectif au GLM, et de l’exposition au triangle de liquidation.
S
Somme d’un nombre aléatoire N de sinistres de montants X1, …, XN. Si N est indépendant des montants et que ceux-ci suivent la même loi :
E[S] = E[N] · E[X]
Exemple : Fréquence 7 %, coût moyen 3 000 € : prime pure de 210 € par contrat.
Voir aussi :Leçon : la prime pureExercice : du portefeuille à la primeLeçon : le simulateur Monte CarloCours : Probabilités pour l’actuariatCours : Tarification non-vieCours : Python pour l’actuariat
Ci,j
Montant cumulé des sinistres de l’année de survenance i, après j années de développement.
Voir aussi :Leçon : Chain Ladder pas à pasCours : Provisionnement non-vie
fj
Coefficient de passage d’une colonne du triangle à la suivante, dans la méthode Chain Ladder.
fj = Σi Ci,j+1 / Σi Ci,j
Exemple : (150 + 174) / (100 + 120) ≈ 1,4727.
Voir aussi :Exercice : votre premier Chain LadderLeçon : Chain Ladder pas à pasCours : Provisionnement non-vie
IBNR
Les IBNR sont les sinistres survenus mais pas encore déclarés. Avec ce qui reste à payer sur les dossiers ouverts, ils forment la provision pour sinistres à payer (PSAP).
Provision = charge ultime − montants déjà payés
Voir aussi :Leçon : Chain Ladder pas à pasExercice : isoler les IBNRCours : Provisionnement non-vie
BF
Méthode de provisionnement qui combine une charge attendue a priori, prime × ratio sinistres à primes, et la cadence de développement du triangle. Elle est plus stable que Chain Ladder pour les années récentes.
Provision = charge a priori × (1 − 1 / facteur cumulé)
Exemple : 2 000 × 70 % × (1 − 1 / 1,25) = 280.
Voir aussi :Exercice : la méthode de Bornhuetter-FergusonCours : Provisionnement non-vie
E
Durée pendant laquelle les contrats ont été couverts, en contrats-années. Un contrat présent six mois compte pour 0,5.
Fréquence = nombre de sinistres / exposition
Exemple : 800 contrats sur toute l’année et 400 sur six mois : 800 + 400 × 0,5 = 1 000 contrats-années.
Voir aussi :Leçon : la tarification non-vieExercice : une fréquence qui tient compte de l’expositionCours : Tarification non-vieCours : Python pour l’actuariat
d
Montant qui reste à la charge de l’assuré sur chaque sinistre. L’assureur ne paie que la part qui le dépasse.
Paiement = max(X − d, 0)
Exemple : Sinistre de 2 000 €, franchise de 1 000 € : l’assureur paie 1 000 €.
Voir aussi :Exercice : la prime pure avec franchiseExercice : franchise et loi exponentielleCours : Probabilités pour l’actuariatCours : Tarification non-vieCours : Exam P
GLM
Le modèle de référence de la tarification non-vie. Avec un lien logarithme, il produit un tarif multiplicatif : une prime de base et un coefficient par caractéristique.
ln E[N] = ln(exposition) + β0 + β1 x1 + …
Exemple : Base de 5 %, coefficients 1,6 et 1,8 : 5 % × 1,6 × 1,8 = 14,4 %.
Voir aussi :Leçon : la tarification non-vieExercice : un tarif multiplicatifCours : Tarification non-vieCours : Python pour l’actuariat
Z
Poids donné à l’expérience propre d’un assuré face au tarif du marché. Dans le modèle de Bühlmann, il croît avec le nombre d’années observées.
Prime = Z · expérience + (1 − Z) · marché, avec Z = n / (n + k)
Exemple : 4 années observées et k = 6 : Z = 0,4.
Voir aussi :Exercice : mélanger l’expérience et le marchéCours : Probabilités pour l’actuariatCours : Tarification non-vie
Comment un assureur s’assure à son tour : partager ses risques ou plafonner ses pertes.
QP
Traité proportionnel : la cédante cède un pourcentage fixe de chaque contrat, primes comme sinistres. Le réassureur lui verse une commission sur les primes cédées.
Sinistre cédé = taux de cession × sinistre
Exemple : Cession de 40 % : sur un sinistre de 1 000, le réassureur paie 400.
Voir aussi :Leçon : la réassuranceExercice : le résultat d’une cédante en quote-partCours : Réassurance
XS
Traité non proportionnel, noté « portée XS priorité » : pour chaque sinistre, le réassureur paie la part qui dépasse la priorité, dans la limite de la portée.
Paiement = min(max(X − priorité, 0), portée)
Exemple : Traité « 4 M€ XS 1 M€ » et sinistre de 7 M€ : le réassureur paie 4 M€.
Voir aussi :Leçon : la réassuranceExercice : un excédent de sinistre, trois sinistresCours : Réassurance
SL
Traité non proportionnel sur la charge annuelle totale : le réassureur paie au-delà d’une priorité, souvent exprimée en pourcentage des primes, dans la limite d’une portée.
Paiement = min(max(S − priorité, 0), portée)
Exemple : Priorité de 70 % sur 2 000 k€ de primes et charge de 1 780 k€ : 380 k€.
Voir aussi :Leçon : la réassuranceExercice : un stop lossCours : Réassurance
BC
Coût historique d’une tranche de réassurance, sinistres revalorisés, rapporté à l’assiette de primes. C’est le point de départ de son tarif.
BC = Σ coûts de la tranche / Σ assiettes
Exemple : 4,5 M€ sur cinq ans pour 250 M€ d’assiette : 1,8 %.
Voir aussi :Exercice : tarifer une tranche au burning costCours : Réassurance
Les mesures de risque et le vocabulaire de Solvabilité 2.
VaRα
Perte qui n’est dépassée qu’avec une probabilité 1 − α, sur un horizon donné.
P(L > VaRα) = 1 − α
Exemple : Solvabilité 2 retient α = 99,5 % à un an.
Voir aussi :Leçon : le simulateur Monte CarloExercice : estimer une TVaRCours : Probabilités pour l’actuariatCours : Exam PCours : FRM Partie ICours : FRM Partie IICours : Python pour l’actuariat
TVaRα
Perte moyenne dans les pires scénarios, au-delà de la VaR.
TVaRα = E[L | L ≥ VaRα]
Voir aussi :Leçon : le simulateur Monte CarloExercice : estimer une TVaRCours : Probabilités pour l’actuariatCours : FRM Partie ICours : FRM Partie IICours : Python pour l’actuariat
SCR
Le capital qu’un assureur doit détenir sous Solvabilité 2 pour absorber une perte à 99,5 % sur un an. En anglais : Solvency Capital Requirement.
Voir aussi :Cours : Réassurance
BE · RM
Sous Solvabilité 2, les provisions techniques sont la somme du best estimate, valeur actuelle probable des flux futurs, et d’une marge de risque.
PT = BE + RM
Voir aussi :Cours : Provisionnement non-vie
EWMA
Estimation de la volatilité qui donne plus de poids aux rendements récents.
σt² = λ σt−1² + (1 − λ) rt−1²
Exemple : λ = 0,94 est la valeur retenue par RiskMetrics pour des données quotidiennes.
Voir aussi :Cours : FRM Partie I
EL
Perte moyenne due au risque de crédit sur un an.
EL = PD × LGD × EAD
Exemple : PD 2 %, LGD 45 %, EAD 5 M€ : EL = 45 000 €.
Voir aussi :Cours : FRM Partie ICours : FRM Partie II
DD
Dans le modèle de Merton, nombre d’écarts-types qui séparent la valeur des actifs d’une entreprise du montant de sa dette à l’échéance. Plus elle est grande, plus le défaut est improbable.
DD = [ln(V/D) + (μ − σ²/2) T] / (σ √T)
Exemple : V = 100, D = 80, μ = 6 %, σ = 25 %, T = 1 : DD = 1,01.
Voir aussi :Cours : FRM Partie II
CVA
Ce que vaut en moins un contrat dérivé parce que la contrepartie peut faire défaut : la perte attendue sur la contrepartie, sommée sur la durée du contrat. En anglais : Credit Valuation Adjustment.
CVA ≈ LGD × Σ EEi × PDi
Exemple : Exposition attendue de 10 M$ sur 3 ans, PD de 2 % par an, LGD de 60 % : CVA = 0,36 M$.
Voir aussi :Cours : FRM Partie II
LCR
Ratio de Bâle 3 : une banque doit détenir assez d’actifs liquides de haute qualité pour couvrir 30 jours de sorties de trésorerie en situation de crise. En anglais : Liquidity Coverage Ratio.
LCR = actifs liquides / sorties nettes à 30 jours ≥ 100 %
Exemple : 154 M$ d’actifs liquides pour 140 M$ de sorties nettes : LCR = 110 %.
Voir aussi :Cours : FRM Partie II
Chaque cours applique ces notations sur des exemples chiffrés et des exercices corrigés. Commencez par un exercice gratuit pour voir la méthode.